図形と計量の問題

$\mathrm{AD}=x$ とおきます。

$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ }$ の二等分線なので
$$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}=30^{\circ }$$
です。

$△\mathrm{ABC}$ の面積 は、2 辺とそのあいだの角を使って
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$$
です。

面積を分割します。 点 $\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上にあるので、$△\mathrm{ABC}$ は $△\mathrm{ABD}$ と $△\mathrm{ADC}$ に分けられ、
$$△\mathrm{ABC}=△\mathrm{ABD}+△\mathrm{ADC}$$
が成り立ちます。それぞれ、2 辺とそのあいだの角 $30^{\circ }$ を使って面積を表すと
$$△\mathrm{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot x\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot x\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}x$$
$$△\mathrm{ADC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}x$$
です。

よって
$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}x=\frac{9\sqrt{3}}{2}$$
$$\frac{9}{4}x=\frac{9\sqrt{3}}{2}$$
$$x=\frac{9\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{4}{9}=2\sqrt{3}$$

したがって $\mathrm{AD}=2\sqrt{3}$ です。

角の二等分線の長さを面積で求める。△ABC = △ABD + △ADC より、
$\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot AD\sin 30^{\circ }+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot AD\sin 30^{\circ }$。
左辺は $9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$。
右辺は $\frac{1}{2}AD(6+3)\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{4}AD$。
よって $AD=\frac{9\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{4}{9}=2\sqrt{3}$。
検算：余弦定理より $B{C}^2=36+9-2\cdot 6\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=27$、$BC=3\sqrt{3}$。BD:DC=2:1 より BD=$2\sqrt{3}$、DC=$\sqrt{3}$。AD=$2\sqrt{3}$ とすると、△ABD で AB=6, AD=$2\sqrt{3}$, ∠BAD=30° のとき $B{D}^2=36+12-2\cdot 6\cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=48-36=12$ となり BD=$2\sqrt{3}$ で一致する。