図形と計量の問題

2 辺とその間の角がわかっているので、余弦定理を使います。

余弦定理: $△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{BC}=a$, $\mathrm{CA}=b$, $\mathrm{AB}=c$ とすると
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

ここでは $b=\mathrm{CA}=5$, $c=\mathrm{AB}=3$, $A=120^{\circ }$ です。

$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ なので、
$${\mathrm{BC}}^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=25+9+15=49$$

$\mathrm{BC}>0$ なので
$$\mathrm{BC}=7$$

余弦定理より ${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}\cos 120^{\circ }=9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=34+15=49$。$\mathrm{BC}>0$ より $\mathrm{BC}=7$。検算：$7^2=49$、$3^2+5^2+3\cdot 5=9+25+15=49$ で一致する。