図形と計量の問題

2 つの角とその一方の向かいの辺がわかっているので、正弦定理を使います。

正弦定理は、$△\mathrm{ABC}$ で $a=\mathrm{BC}$, $b=\mathrm{CA}$ とすると
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$
です。辺 $\mathrm{BC}$ は $\angle \mathrm{A}$ の向かいの辺、辺 $\mathrm{CA}$ は $\angle \mathrm{B}$ の向かいの辺です。

与えられた値を代入すると
$$\frac{4}{\sin 45^{\circ }}=\frac{\mathrm{CA}}{\sin 60^{\circ }}$$
となります。両辺に $\sin 60^{\circ }$ をかけて
$$\mathrm{CA}=\frac{4\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$$
です。$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入すると
$$\mathrm{CA}=\frac{4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}$$

よって、$\mathrm{CA}=2\sqrt{6}$ です。

正弦定理より $\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}=\frac{\mathrm{CA}}{\sin B}$ である。

$\mathrm{CA}=\frac{\mathrm{BC}\sin B}{\sin A}=\frac{4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}$

検算：$\angle C=75^{\circ }$ なので外接円の半径 $R=\frac{4}{2\sin 45^{\circ }}=2\sqrt{2}$ である。このとき $\mathrm{CA}=2R\sin 60^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$ となり、一致する。