図形と計量の問題

2 辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CA}$ とその間の角 $\angle \mathrm{A}$ がわかっているので、余弦定理を使って残りの辺 $\mathrm{BC}$ を求める。

余弦定理より
$${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}\cos A$$
である。

$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ であるから、値を代入すると
$${\mathrm{BC}}^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=9+25+15=49$$
となる。

$\mathrm{BC}>0$ であるから
$$\mathrm{BC}=7$$

余弦定理より ${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}\cos 120^{\circ }=9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=34+15=49$。$\mathrm{BC}>0$ なので $\mathrm{BC}=7$。検算：$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ なので $-2\cdot 15\cdot (-\frac{1}{2})=+15$ となり、$34+15=49$ で正しい。また三角形の成立条件 $5-3<7<5+3$ も満たす。