図形と計量の問題

辺 $\mathrm{BC}$ と向かい合う角は $\angle \mathrm{A}$、辺 $\mathrm{CA}$ と向かい合う角は $\angle \mathrm{B}$ です。どちらの角もわかっているので、正弦定理を使います。

正弦定理より
$$\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}=\frac{\mathrm{CA}}{\sin B}$$
値を代入すると
$$\frac{6}{\sin 45^{\circ }}=\frac{\mathrm{CA}}{\sin 60^{\circ }}$$
よって
$$\mathrm{CA}=\frac{6\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}÷\frac{\sqrt{2}}{2}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$
分母を有理化して
$$\mathrm{CA}=\frac{6\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{2}=3\sqrt{6}$$
したがって、$\mathrm{CA}=3\sqrt{6}$ です。

正弦定理より、$\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}=\frac{\mathrm{CA}}{\sin B}$ である。

$\mathrm{CA}=\frac{6\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{6}$

検算：$\angle C=75^{\circ }$。外接円の半径は $R=\frac{6}{2\sin 45^{\circ }}=3\sqrt{2}$。$\mathrm{CA}=2R\sin 60^{\circ }=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}$ で一致する。数値では $3\sqrt{6}\approx 7.35$。