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図形と計量の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 図形と計量

$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $AC = 3$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ である。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。

A

B

C

D

6

3

この問題で使うもの

面積の分割と角の二等分線の長さ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（22 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

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ヒント

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ヒント 1

「面積の分割」を使う。 $△ ABC$ を線分 $AD$ で $△ ABD$ と $△ ADC$ に分けて、面積の関係式を作る。

ヒント 2

$AD = x$ とおくと、 $∠ BAD = ∠ DAC = 4 5^{\circ}$ なので、 $△ ABC = △ ABD + △ ADC$ は $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 sin 9 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x sin 4 5^{\circ} + \frac{1}{2} \cdot x \cdot 3 sin 4 5^{\circ}$ となる。

ヒント 3

左辺は $9$ 、右辺は $\frac{3 2}{2} x + \frac{3 2}{4} x = \frac{9 2}{4} x$ となる。あとは $x$ について解く。

答えと解説

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22

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解説を読む

$AD = x$ とおく。 $AD$ は $∠ A = 9 0^{\circ}$ の二等分線なので
$∠ BAD = ∠ DAC = 4 5^{\circ}$
である。

$△ ABC$ の面積
$△ ABC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot sin 9 0^{\circ} = 9$

分割した 2 つの三角形の面積
$△ ABD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x \cdot sin 4 5^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 2}{2} x$
$△ ADC = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 3 \cdot sin 4 5^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 3 \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 2}{4} x$

面積の関係式
$D$ は辺 $BC$ 上にあるので、 $△ ABC = △ ABD + △ ADC$ が成り立つ。よって
$9 = \frac{3 2}{2} x + \frac{3 2}{4} x = \frac{9 2}{4} x$
したがって
$x = \frac{9 \cdot 4}{9 2} = \frac{4}{2} = 22$

よって $AD = 22$ である。

別解

角の二等分線の性質より BD:DC = AB:AC = 6:3 = 2:1。

Aを原点、Bを(6,0)、Cを(0,3)とおく。Dは BC を 2:1 に内分する点なので、D = (1·(6,0)+2·(0,3))/3 = (2, 2)。

よって AD = √(2²+2²) = 2√2。

検算：面積による方法。△ABC = (1/2)·6·3 = 9。△ABD + △ACD = (1/2)·6·AD·sin45° + (1/2)·3·AD·sin45° = (9/2)·AD·(√2/2) = 9√2/4·AD。これが 9 に等しいので AD = 4/√2 = 2√2。一致する。

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