図形と計量の問題

$\mathrm{AD}=x$ とおきます。

手順 1：$△\mathrm{ABC}$ の面積を求める。
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$$

手順 2：$△\mathrm{ABD}$ と $△\mathrm{ADC}$ の面積を $x$ で表す。
$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{BAC}$ の二等分線なので、$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}=30^{\circ }$ です。
$$△\mathrm{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot x\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 6x\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}x$$
$$△\mathrm{ADC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}x$$

手順 3：面積の分割の式を立てる。
点 $\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上にあるので、$△\mathrm{ABC}=△\mathrm{ABD}+△\mathrm{ADC}$ が成り立ちます。
$$\frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}x=\frac{9}{4}x$$
両辺に $\frac{4}{9}$ を掛けて
$$x=\frac{9\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{4}{9}=2\sqrt{3}$$

よって $\mathrm{AD}=2\sqrt{3}$ です。

角の二等分線の長さを面積で求める。△ABC = △ABD + △ACD より、AD = x として
$\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot x\sin 30^{\circ }+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\sin 30^{\circ }$
左辺 $=9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$。
右辺 $=3x\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{2}x\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}x=\frac{9}{4}x$。
よって $\frac{9}{4}x=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ より $x=2\sqrt{3}$。
検算：余弦定理で $B{C}^2=36+9-2\cdot 6\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=27$、$BC=3\sqrt{3}$。BD:DC=2:1 より BD=$2\sqrt{3}$、DC=$\sqrt{3}$。公式 $A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC=18-6=12$ より AD=$2\sqrt{3}$。一致する。