図形と計量の問題

辺の比を文字で表す

$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線なので、角の二等分線の性質より
$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:3$$
そこで正の数 $k$ を用いて $\mathrm{BD}=5k$, $\mathrm{DC}=3k$ とおくと、$\mathrm{BC}=8k$ である。

$\cos B$ を 2 通りに表す

$△\mathrm{ABD}$ において余弦定理より
$$\cos B=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BD}}^2-{\mathrm{AD}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BD}}=\frac{25+25k^2-\frac{225}{64}}{50k}$$
$△\mathrm{ABC}$ において余弦定理より
$$\cos B=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}}=\frac{25+64k^2-9}{80k}=\frac{16+64k^2}{80k}$$
この 2 つが等しいので、両辺に $400k$ を掛けて
$$8\left(25+25k^2-\frac{225}{64}\right)=5(16+64k^2)$$
$$200+200k^2-\frac{225}{8}=80+320k^2$$
$$120k^2=120-\frac{225}{8}=\frac{735}{8}$$
$$k^2=\frac{735}{960}=\frac{49}{64}$$
$k>0$ より $k=\frac{7}{8}$。よって $\mathrm{BC}=8k=7$。

$\angle \mathrm{A}$ を求める

$△\mathrm{ABC}$ において余弦定理より
$$\cos A=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}=\frac{25+9-49}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$$
$0^{\circ }<A<180^{\circ }$ より $A=120^{\circ }$ で、$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

外接円の半径を求める

正弦定理 $\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}=2R$ より
$$R=\frac{\mathrm{BC}}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$

（確認: $A=120^{\circ }$ のとき、面積について $△\mathrm{ABD}+△\mathrm{ACD}=△\mathrm{ABC}$ より $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \mathrm{AD}\sin 60^{\circ }+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \mathrm{AD}\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\sin 120^{\circ }$ となり、$8\mathrm{AD}=15$、すなわち $\mathrm{AD}=\frac{15}{8}$ で条件に合う。）

したがって $R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。

$\angle \mathrm{A}=2\theta$ とおく。$△\mathrm{ABC}=△\mathrm{ABD}+△\mathrm{ACD}$ より
$\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\sin 2\theta =\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \mathrm{AD}\sin \theta +\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \mathrm{AD}\sin \theta$。
$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$、$\sin \theta \ne 0$ なので $15\cos \theta =\frac{8}{2}\cdot \mathrm{AD}\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{1}$ ではなく、整理して $15\cdot 2\cos \theta =8\mathrm{AD}$、すなわち $30\cos \theta =8\cdot \frac{15}{8}=15$。よって $\cos \theta =\frac{1}{2}$、$\theta =60^{\circ }$ ($0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$)、$\angle \mathrm{A}=120^{\circ }$。

余弦定理より ${\mathrm{BC}}^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cos 120^{\circ }=25+9+15=49$、$\mathrm{BC}=7$。
正弦定理より $2R=\frac{\mathrm{BC}}{\sin 120^{\circ }}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$、$R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。

検算:$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=5:3$ より $\mathrm{BD}=\frac{35}{8}$。$△\mathrm{ABD}$ で余弦定理: ${\mathrm{BD}}^2=25+\frac{225}{64}-2\cdot 5\cdot \frac{15}{8}\cos 60^{\circ }=25+\frac{225}{64}-\frac{75}{8}=\frac{1600+225-600}{64}=\frac{1225}{64}$ で $\mathrm{BD}=\frac{35}{8}$ と一致。