において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
面積の分割と角の二等分線の長さ
のように面積を分割して、角の二等分線 の長さや内接円の半径 （）を求められる
前提
- 正弦定理・余弦定理と三角形の面積 （数学I 図形と計量）
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説明
三角形を、内部の点から引いた線分でいくつかの小さな三角形に分け、「全体の面積＝部分の面積の和」という等式を立てる技能です。これを使うと、角の二等分線 の長さや内接円の半径 を、長さを1文字に置いた1次方程式として求められます。角の大きさが分かっていて、ある線分の長さを直接測りにくいときに特に役立ちます。
なぜそうしてよいのか
の の二等分線が辺 と交わる点を とすると、 は と にすき間なく、重なりなく分かれます。したがって （ここで は面積を表す）が成り立ちます。 なので、面積の公式 を使うと となります（）。未知数は だけなので、これを解けば が求まります。
内接円でも同じ考え方を使います。内接円の中心を 、半径を とすると、 は に分かれます。内接円は各辺に接するので、 から各辺までの距離はどれも です。つまり3つの三角形の高さはすべて で、底辺はそれぞれ です。よって が成り立ち、面積 が分かれば と求まります。
手順
求めたい線分を含むように、三角形を小さな三角形に分ける（角の二等分線なら と 、内接円なら中心 と各頂点を結んだ3つの三角形）
各部分の面積を、求めたい長さ（ や ）を文字のまま使って表す。二等分線では挟む角が になることに注意： など
全体の面積 を、分かっている辺と角から別に計算する（例：。角が分からなければ余弦定理で を求め、 に直す）
「全体の面積＝部分の面積の和」の等式を立てて、求めたい長さについて解く（内接円なら ）
例題
において、 とする。 の二等分線と辺 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
例題の解答
手順1： で を と に分ける。 は の二等分線なので である。
手順2： とおく。、。
手順3：全体の面積は 。
手順4： より よって 。したがって 。
答え:
よくある誤り
分けた小さな三角形の面積に、もとの角 の を使ってしまう誤り（例：）。正しくは二等分された角を使い、 とする。
内接円の公式の を落として としてしまう誤り。正しくは各三角形が 底辺 なので 、つまり 。
角の二等分線の足 を辺 の中点と思い込み、 として計算する誤り。 なら は中点ではない。正しくは中点かどうかに関係なく成り立つ面積の等式 を使う。
を としてしまう誤り。正しくは で、面積は必ず正になる。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。