図形と計量の問題

$\mathrm{PA}=x$, $\mathrm{PB}=y$, $\mathrm{PC}=z$ とおく（$x,y,z>0$）。求めるのは $x+y+z$ である。$x,y,z$ を 1 つずつ求めようとすると連立方程式が大変になるので、$x+y+z$ を求めるのに必要な $x^2+y^2+z^2$ と $xy+yz+zx$ を、それぞれ別の方法で求める。

余弦定理から

$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ なので、$△\mathrm{PAB}$, $△\mathrm{PBC}$, $△\mathrm{PCA}$ で余弦定理を使うと
$$x^2+y^2+xy=25(1)$$
$$y^2+z^2+yz=49(2)$$
$$z^2+x^2+zx=64(3)$$
$(1)+(2)+(3)$ より
$$2(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+zx)=138(4)$$

面積から

$△\mathrm{ABC}$ で余弦定理を使うと
$$\cos A=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$
より $A=60^{\circ }$。よって
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=10\sqrt{3}$$
一方、$\mathrm{P}$ は内部の点なので $△\mathrm{ABC}=△\mathrm{PAB}+△\mathrm{PBC}+△\mathrm{PCA}$ であり、$\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ より
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(xy+yz+zx)=10\sqrt{3}$$
$$xy+yz+zx=40(5)$$

まとめ

$(4)$, $(5)$ より $2(x^2+y^2+z^2)=138-40=98$、つまり $x^2+y^2+z^2=49$。したがって
$$(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=49+80=129$$
$x+y+z>0$ より
$$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}=\sqrt{129}$$

（参考: $(2)-(1)$ から $(z-x)(x+y+z)=24$、$(3)-(2)$ から $(x-y)(x+y+z)=15$ が得られ、$s=\sqrt{129}$ として $x=\frac{40}{s}$, $y=\frac{25}{s}$, $z=\frac{64}{s}$ となる。これらは $(1)$〜$(3)$ を満たす正の数で、このような点 $\mathrm{P}$ が確かに存在することとも合う。）

$\mathrm{PA}=x,\mathrm{PB}=y,\mathrm{PC}=z$ とおく。各三角形に余弦定理を用いる（$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$）。
${\mathrm{AB}}^2=x^2+y^2+xy=25$、${\mathrm{BC}}^2=y^2+z^2+yz=49$、${\mathrm{CA}}^2=z^2+x^2+zx=64$。
3 式を足して $2(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+zx)=138$ …①。
$△\mathrm{ABC}$ の面積はヘロンの公式より、$s=10$ として $\sqrt{10\cdot 5\cdot 3\cdot 2}=10\sqrt{3}$。
一方、面積 $=\frac{1}{2}(xy+yz+zx)\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}(xy+yz+zx)$ なので $xy+yz+zx=40$ …②。
①②より $x^2+y^2+z^2=\frac{138-40}{2}=49$。
よって $(x+y+z{)}^2=49+2\cdot 40=129$、$x+y+z>0$ より $x+y+z=\sqrt{129}$。
検算: $△\mathrm{ABC}$ の最大角 $\angle \mathrm{B}$ は $\cos B=\frac{25+49-64}{70}=\frac{1}{7}$ で $120^{\circ }$ 未満、つまり全ての角が $120^{\circ }$ 未満なのでフェルマー点は内部に存在し、条件を満たす点 P が存在する。また $\sqrt{129}\approx 11.36$ は、三辺の長さ $5,7,8$ から見て妥当な大きさ（$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\geqq 5$ などと矛盾しない）。