図形と計量の問題

1. 四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積

半直線 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$ 上に $\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }=\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }=4$ となる点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$, ${\mathrm{B}}^{\prime }$ をとる。$\angle {\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }=\angle {\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{OC}=\angle \mathrm{CO}{\mathrm{A}}^{\prime }=60^{\circ }$ で、$△\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$, $△\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{C}$, $△\mathrm{OC}{\mathrm{A}}^{\prime }$ はいずれも 2 辺が $4$ でその間の角が $60^{\circ }$ だから正三角形である。よって ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }={\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{C}=\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }=4$ となり、$\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{C}$ は 1 辺 $4$ の正四面体である。

1 辺 $4$ の正四面体の体積を求める。底面 $△\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4^2=4\sqrt{3}$ である。$\mathrm{C}$ から底面に下ろした垂線の足は底面の外心と一致し、外接円の半径は正弦定理より $\frac{4}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ である。したがって高さは
$$\sqrt{4^2-{\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{32}{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$$
となり、体積は
$$\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot \frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{16\sqrt{18}}{9}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$$
である。

四面体 $\mathrm{OABC}$ と $\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{C}$ はどちらも $\mathrm{C}$ を頂点とし、底面 $△\mathrm{OAB}$, $△\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ は同じ平面上にあるので、高さが共通である。よって体積比は底面積の比に等しい。
$$\frac{△\mathrm{OAB}}{△\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\sin 60^{\circ }}{\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\sin 60^{\circ }}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$$
したがって
$$V=\frac{3}{8}\cdot \frac{16\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$$
である。

2. $△\mathrm{ABC}$ の面積

余弦定理より
$${\mathrm{AB}}^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cos 60^{\circ }=7,$$
$${\mathrm{BC}}^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cos 60^{\circ }=13,$$
$${\mathrm{CA}}^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4\cos 60^{\circ }=12$$
である。よって $\mathrm{AB}=\sqrt{7}$, $\mathrm{BC}=\sqrt{13}$, $\mathrm{CA}=2\sqrt{3}$ となる。

$△\mathrm{ABC}$ で余弦定理を用いると
$$\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{7+12-13}{2\cdot \sqrt{7}\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{6}{4\sqrt{21}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}$$
である。$\sin \angle \mathrm{BAC}>0$ より
$$\sin \angle \mathrm{BAC}=\sqrt{1-\frac{9}{84}}=\sqrt{\frac{75}{84}}=\sqrt{\frac{25}{28}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$$
となる。したがって
$$S=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{7}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$$
である。

3. 垂線の長さ

求める垂線の長さを $h$ とすると $V=\frac{1}{3}Sh$ である。よって
$$h=\frac{3V}{S}=\frac{6\sqrt{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{5\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{6}}{15}=\frac{4\sqrt{6}}{5}$$
となる。

答えは $\frac{4\sqrt{6}}{5}$ である。

$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ とおく。内積は $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=3$、$\vec{b}\cdot \vec{c}=3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=6$、$\vec{c}\cdot \vec{a}=4\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=4$ である。

体積は、グラム行列式を用いて $V=\frac{1}{6}\sqrt{\det G}$ と表せる。ここで $G=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 4\\ 3& 9& 6\\ 4& 6& 16\end{array}\right)$ である。

$\det G=4(144-36)-3(48-24)+4(18-36)=432-72-72=288$。

よって $V=\frac{\sqrt{288}}{6}=\frac{12\sqrt{2}}{6}=2\sqrt{2}$。

次に $△ABC$ の面積を求める。$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$、$\overrightarrow{AC}=\vec{c}-\vec{a}$ とすると、

$|AB{|}^2=9+4-6=7$、$|AC{|}^2=16+4-8=12$、

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6-3-4+4=3$。

面積は $S=\frac{1}{2}\sqrt{7\cdot 12-3^2}=\frac{1}{2}\sqrt{75}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。

垂線の長さを $h$ とすると $V=\frac{1}{3}Sh$ より

$h=\frac{3V}{S}=\frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{3}/2}=\frac{12\sqrt{2}}{5\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{5}$。

検算：ヘロンの公式の代わりに $B{C}^2=13$ を用いて余弦定理で確認する。$\cos A=\frac{7+12-13}{2\sqrt{84}}=\frac{3}{\sqrt{84}}$ なので、$S=\frac{1}{2}\sqrt{84}\sin A$ である。${\sin }^{2}A=1-\frac{9}{84}=\frac{75}{84}$ より $S=\frac{1}{2}\sqrt{75}$ となり、上の値と一致する。