四面体の高さと体積

$P A = P B = P C$ のとき垂線の足が $△ A B C$ の外心になることを使い、三平方の定理で高さ $h = P A^{2} - R^{2}$ を求めて、四面体の体積 $V = \frac{1}{3} S h$ を求められる

前提

正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）

この技能までの道筋（21 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）

説明

四面体 $P A B C$ で $P A = P B = P C$ となっているとき、頂点 $P$ から底面 $△ A B C$ に下ろした垂線の足 $H$ の位置がわかります。その位置を使うと、三平方の定理で高さ $P H$ を求められます。底面の面積とあわせて四面体の体積 $V = \frac{1}{3} S h$ が計算できます。正四面体や、側面の辺が等しい三角錐の体積を求める場面でよく使います。

なぜそうしてよいのか

$P$ から平面 $A B C$ に垂線 $P H$ を下ろします。 $P H$ は平面 $A B C$ に垂直なので、平面上の直線 $H A, H B, H C$ のどれとも垂直です。よって $△ P H A, △ P H B, △ P H C$ はどれも $∠ H = 9 0^{\circ}$ の直角三角形です。三平方の定理から $H A^{2} = P A^{2} - P H^{2}, H B^{2} = P B^{2} - P H^{2}, H C^{2} = P C^{2} - P H^{2}$ が成り立ちます。 $P A = P B = P C$ で $P H$ は共通なので、 $H A = H B = H C$ となります。

平面 $A B C$ 上で 3 点 $A, B, C$ から等しい距離にある点は、 $△ A B C$ の外接円の中心（外心）ただ 1 つです。したがって $H$ は外心で、 $H A$ は外接円の半径 $R$ に等しくなります。すると $P A^{2} = h^{2} + R^{2}$ より、高さは $h = P H = P A^{2} - R^{2}$ です。 $R$ は正弦定理 $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ で求められます。

最後に、角錐の体積は（底面積） $\times$ （高さ） $\times \frac{1}{3}$ なので、 $V = \frac{1}{3} S h$ となります。 $S$ は $△ A B C$ の面積で、 $\frac{1}{2} b c sin A$ で求めます。

手順

余弦定理で $△ A B C$ の 1 つの角（例えば $A$ ）の余弦を求め、 $sin A = 1 - cos^{2} A$ （ $0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}$ なので $sin A > 0$ ）を求める。
底面積を求める： $S = \frac{1}{2} A B \cdot A C sin A$
正弦定理で外接円の半径を求める： $R = \frac{B C}{2 s i n A}$
$P A = P B = P C$ より垂線の足 $H$ は外心なので、三平方の定理で高さを求める： $h = P A^{2} - R^{2}$
体積を求める： $V = \frac{1}{3} S h$

例題

四面体 $P A B C$ において、 $A B = 8, B C = 7, C A = 5, P A = P B = P C = 7$ である。この四面体の体積 $V$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】余弦定理より $cos A = \frac{A B ^{2} + C A ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot C A} = \frac{64 + 25 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$ である。 $0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}$ より $A = 6 0^{\circ}$ となり、 $sin A = \frac{3}{2}$ である。
【手順2】 $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = 103$
【手順3】正弦定理より $2 R = \frac{B C}{s i n A} = \frac{7}{\frac{3}{2}} = \frac{14}{3}$ なので、 $R = \frac{7}{3}$ 、 $R^{2} = \frac{49}{3}$ である。
【手順4】 $P A = P B = P C$ なので、 $P$ から平面 $A B C$ に下ろした垂線の足 $H$ は $△ A B C$ の外心で、 $H A = R$ である。 $△ P H A$ で三平方の定理を使うと $h = P A^{2} - R^{2} = 49 - \frac{49}{3} = \frac{98}{3} = \frac{7 2}{3} = \frac{7 6}{3}$ となる。
【手順5】 $V = \frac{1}{3} \cdot 103 \cdot \frac{7 6}{3} = \frac{70 18}{9} = \frac{70 \cdot 3 2}{9} = \frac{70 2}{3}$

答え: $\frac{70 2}{3}$

よくある誤り

垂線の足を重心や内心と考えて、内接円の半径 $r$ で $h = P A^{2} - r^{2}$ としてしまう誤り。正しくは、 $H A = H B = H C$ となる点なので外心であり、 $h = P A^{2} - R^{2}$ （ $R$ は外接円の半径）。
高さを $h = P A - R$ と引き算で求めてしまう誤り。正しくは直角三角形 $P H A$ の三平方の定理から $h = P A^{2} - R^{2}$ （例題なら $7 - \frac{7}{3}$ ではなく $49 - \frac{49}{3}$ ）。
体積の $\frac{1}{3}$ を忘れて $V = S h$ としてしまう誤り。正しくは角錐なので $V = \frac{1}{3} S h$ 。
正弦定理で辺と角の組を取り違えて、 $R = \frac{A B}{2 s i n A}$ のようにしてしまう誤り。正しくは向かい合う辺と角を組にして、 $R = \frac{B C}{2 s i n A}$ （ $B C$ は角 $A$ の対辺）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

体積を使った点と平面の距離（数学I 図形と計量）