図形と計量の問題

1. 三角形 $\mathrm{ABC}$ の角と面積

余弦定理より
$$\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$
である。$0^{\circ }<\angle \mathrm{BAC}<180^{\circ }$ より $\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ }$ となり、$\sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。よって三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積 $S$ は
$$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$$

2. 頂点 $\mathrm{P}$ から下ろした垂線の足

$\mathrm{P}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に垂線 $\mathrm{PH}$ を下ろす。三角形 $\mathrm{PHA}$, $\mathrm{PHB}$, $\mathrm{PHC}$ はいずれも $\angle \mathrm{PHA}=\angle \mathrm{PHB}=\angle \mathrm{PHC}=90^{\circ }$ の直角三角形である。$\mathrm{PH}$ を共有し、斜辺 $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$ が等しいので、三平方の定理から
$$\mathrm{HA}=\mathrm{HB}=\mathrm{HC}$$
が成り立つ。よって $\mathrm{H}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円の中心である。

外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より
$$2R=\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{BAC}}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$$
となる。したがって $R=\frac{7}{\sqrt{3}}$ であり、$R^2=\frac{49}{3}$ である。

3. 高さ

三角形 $\mathrm{PHA}$ に三平方の定理を用いると
$${\mathrm{PH}}^2={\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{HA}}^2=49-\frac{49}{3}=\frac{98}{3}$$
となる。よって
$$\mathrm{PH}=\sqrt{\frac{98}{3}}=\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{6}}{3}$$

4. 体積

$$V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot \mathrm{PH}=\frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot \frac{7\sqrt{6}}{3}=\frac{70\sqrt{18}}{9}=\frac{70\cdot 3\sqrt{2}}{9}=\frac{70\sqrt{2}}{3}$$

答え: $V=\frac{70\sqrt{2}}{3}$

P から底面 $△ABC$ に下ろした垂線の足を H とする。$PA=PB=PC$ より H は $△ABC$ の外心である。

$s=\frac{5+7+8}{2}=10$ なので、ヘロンの公式より $△ABC=\sqrt{10\cdot 5\cdot 3\cdot 2}=10\sqrt{3}$。

外接円の半径は $R=\frac{5\cdot 7\cdot 8}{4\cdot 10\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}$。

高さは $PH=\sqrt{P{A}^2-R^2}=\sqrt{49-\frac{49}{3}}=\sqrt{\frac{98}{3}}=\frac{7\sqrt{6}}{3}$。

よって $V=\frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot \frac{7\sqrt{6}}{3}=\frac{70\sqrt{18}}{9}=\frac{70\sqrt{2}}{3}$。

検算: $\cos B=\frac{25+49-64}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{1}{7}$ より $\sin B=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。面積は $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}=10\sqrt{3}$ で一致する。