図形と計量の問題

底面 $△\mathrm{ABC}$ の角と面積

余弦定理より
$$\cos \angle \mathrm{ACB}=\frac{{\mathrm{CA}}^2+{\mathrm{CB}}^2-{\mathrm{AB}}^2}{2\cdot \mathrm{CA}\cdot \mathrm{CB}}=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$
である。$0^{\circ }<\angle \mathrm{ACB}<180^{\circ }$ より $\angle \mathrm{ACB}=60^{\circ }$ となり、$\sin \angle \mathrm{ACB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

よって
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}.$$

外接円の半径

$△\mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より
$$2R=\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{ACB}}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$$
であるから、$R=\frac{7}{\sqrt{3}}$、すなわち $R^2=\frac{49}{3}$ である。

高さ

$\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする。$△\mathrm{OHA}$, $△\mathrm{OHB}$, $△\mathrm{OHC}$ はいずれも $\angle \mathrm{OHA}=\angle \mathrm{OHB}=\angle \mathrm{OHC}=90^{\circ }$ の直角三角形である。斜辺は $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ で、辺 $\mathrm{OH}$ は共通なので、三平方の定理より
$$\mathrm{HA}=\mathrm{HB}=\mathrm{HC}$$
となる。したがって $\mathrm{H}$ は $△\mathrm{ABC}$ の外心であり、$\mathrm{HA}=R$ である。

ゆえに
$${\mathrm{OH}}^2={\mathrm{OA}}^2-R^2=49-\frac{49}{3}=\frac{98}{3}$$
となり、
$$\mathrm{OH}=\sqrt{\frac{98}{3}}=\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{6}}{3}.$$

体積

$$V=\frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot \frac{7\sqrt{6}}{3}=\frac{70\sqrt{18}}{9}=\frac{70\cdot 3\sqrt{2}}{9}=\frac{70\sqrt{2}}{3}.$$

したがって $V=\frac{70\sqrt{2}}{3}$ である。

三角形 $\mathrm{ABC}$ で、$\mathrm{AB}=7$, $\mathrm{BC}=5$, $\mathrm{CA}=8$ である。

底面積を求める。$s=\frac{7+5+8}{2}=10$ なので、ヘロンの公式より $S=\sqrt{10\cdot 3\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$。

外接円の半径を求める。$\mathrm{AB}$ の対角は $\angle \mathrm{C}$ で、余弦定理より $\cos C=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$。よって $C=60^{\circ }$。正弦定理より $2R=\frac{7}{\sin 60^{\circ }}=\frac{14}{\sqrt{3}}$ だから $R=\frac{7}{\sqrt{3}}$。

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ より、O から底面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足は三角形 $\mathrm{ABC}$ の外心である。高さを $h$ とすると $h^2=7^2-R^2=49-\frac{49}{3}=\frac{98}{3}$。したがって $h=\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{6}}{3}$。

体積は $V=\frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot \frac{7\sqrt{6}}{3}=\frac{70\sqrt{18}}{9}=\frac{70\cdot 3\sqrt{2}}{9}=\frac{70\sqrt{2}}{3}$。

検算：$\cos C=\frac{1}{2}$ と $R=\frac{7}{\sqrt{3}}$ は上で確認済み。$h^2=\frac{98}{3}$ から $h=\frac{7\sqrt{6}}{3}\approx 5.72$、$V\approx \frac{1}{3}\cdot 17.32\cdot 5.72\approx 33.0$。一方 $\frac{70\sqrt{2}}{3}\approx 33.0$ で一致する。