体積を使った点と平面の距離

四面体の体積を、底面を取り替えて 2 通りに表し、 $V = \frac{1}{3} \cdot △ O B C \cdot d$ から頂点と向かい合う平面までの距離 $d$ を求められる

前提

四面体の高さと体積（数学I 図形と計量）

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算数中学高校大学大学院

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四面体の高さと体積（数学I 図形と計量）

説明

四面体の頂点から、向かい合う面をふくむ平面までの距離を、垂線の足の位置を探さずに求める方法です。まず、高さが分かりやすい底面を使って四面体の体積 $V$ を一度求めます。次に、距離を知りたい面を底面と見て $V = \frac{1}{3} S d$ と表し直し、 $d$ について解きます。座標を使わなくても、辺の長さと三角形の面積だけで距離が出せるのが利点です。

なぜそうしてよいのか

点と平面の距離とは、その点から平面に下ろした垂線の長さのことです。ここで「直線 $ℓ$ が平面 $α$ に垂直」とは、 $ℓ$ が $α$ と交わる点を通る $α$ 上のどの直線とも垂直であることをいいます。四面体の体積 $V = \frac{1}{3} \times (底面積) \times (高さ)$ の「高さ」は、底面に選んだ面と向かい合う頂点から、その面をふくむ平面までの距離です。

四面体の体積は、どの面を底面に選んでも同じ値です。たとえば四面体 $P A B C$ で $△ A B C$ を底面にすると、高さは $P$ と平面 $A B C$ の距離 $h$ です。 $△ P B C$ を底面にすると、高さは $A$ と平面 $P B C$ の距離 $d$ です。同じ体積を 2 通りに表すと、 $V = \frac{1}{3} \cdot △ A B C \cdot h = \frac{1}{3} \cdot △ P B C \cdot d$ が成り立ちます。

そこで、まず高さの分かる組み合わせで $V$ を計算します。前の技能のように $P A = P B = P C$ なら、 $P$ から下ろした垂線の足は $△ A B C$ の外心で、外接円の半径を $R$ として $h = P A^{2} - R^{2}$ と求まります。次に、距離を求めたい面の面積 $S$ を三角形の面積の求め方で計算します。 $S \neq = 0$ なので、 $V = \frac{1}{3} S d$ から $d = \frac{3 V}{S}$ と解けます。垂線の足がどこに来るかを知らなくても、体積という同じ量を 2 通りに表すことで距離が分かります。

手順

距離を求めたい頂点と、それに向かい合う面（平面）をはっきりさせる。
高さが分かりやすい底面を選んで、四面体の体積 $V = \frac{1}{3} \times (底面積) \times (高さ)$ を求める（ $P A = P B = P C$ なら $h = P A^{2} - R^{2}$ を使う）。
距離を求めたい頂点に向かい合う面の三角形の面積 $S$ を計算する。二等辺三角形なら底辺の中点まで高さを引いて三平方の定理で求める。一般には余弦定理で $cos$ 、次に $sin$ を出して $S = \frac{1}{2} ab sin C$ を使う。
$V = \frac{1}{3} S d$ とおき、 $d = \frac{3 V}{S}$ を計算する。分母に根号が残れば有理化する。

例題

四面体 $P A B C$ において、 $△ A B C$ は 1 辺の長さが $23$ の正三角形であり、 $P A = P B = P C = 5$ である。点 $A$ と平面 $P B C$ の距離 $d$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】求めるのは、頂点 $A$ から、向かい合う面 $△ P B C$ をふくむ平面までの距離である。

【手順2】高さが分かりやすいのは $△ A B C$ を底面にしたときである。 $P A = P B = P C$ なので、 $P$ から平面 $A B C$ に下ろした垂線の足 $H$ は $△ A B C$ の外心である。外接円の半径 $R$ は正弦定理より $2 R = \frac{2 3}{s i n 6 0 ^{\circ}} = \frac{2 3}{\frac{3}{2}} = 4$ なので、 $R = 2$ である。よって高さは $h = P A^{2} - R^{2} = 5 - 4 = 1$ となる。底面積は $△ A B C = \frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 23 \cdot sin 6 0^{\circ} = 33$ である。したがって
$V = \frac{1}{3} \cdot 33 \cdot 1 = 3$

【手順3】 $△ P B C$ は $P B = P C = 5$ の二等辺三角形である。 $B C$ の中点を $M$ とすると $P M ⊥ B C$ で、 $B M = 3$ となる。よって $P M = 5 - 3 = 2$ であり、
$S = △ P B C = \frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 2 = 6$

【手順4】 $△ P B C$ を底面とみると、高さは $A$ と平面 $P B C$ の距離 $d$ である。 $V = \frac{1}{3} S d$ より $3 = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot d$ となる。よって
$d = \frac{3 V}{S} = \frac{3 3}{6} = \frac{3}{2} = \frac{3 2}{2}$

答え: $\frac{3 2}{2}$

よくある誤り

$V = S d$ として $\frac{1}{3}$ を落としてしまう誤り。例題では $d = \frac{V}{S} = \frac{3}{6} = \frac{2}{2}$ としてしまう。正しくは $V = \frac{1}{3} S d$ から $d = \frac{3 V}{S} = \frac{3 2}{2}$ 。
三角形の面積と混同して $V = \frac{1}{2} S d$ としてしまう誤り。例題では $d = \frac{2 V}{S} = 2$ になってしまう。正しくは錐体の体積なので $V = \frac{1}{3} S d$ 。
面 $P B C$ の高さを辺 $P B$ の長さと取り違え、 $S = \frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 5 = 15$ としてしまう誤り。 $P B$ は $B C$ に垂直ではない。正しくは中点 $M$ まで引いた $P M = 2$ を高さにして $S = 6$ 。
求める距離を取り違えて、手順2の高さ $h = 1$ （ $P$ と平面 $A B C$ の距離）を答えてしまう誤り。 $d = \frac{3 V}{△ A B C} = 1$ は別の距離である。正しくは頂点 $A$ に向かい合う面 $△ P B C$ の面積で割って $d = \frac{3 V}{△ P B C} = \frac{3 2}{2}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

体積を使った点と平面の距離

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