図形と計量の問題

立方体なので、$\angle \mathrm{MAB}=\angle \mathrm{MAD}=\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ }$ であり、$\mathrm{AM}=3$, $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=6$ である。

四面体 $\mathrm{MABD}$ の体積

底面を直角二等辺三角形 $\mathrm{ABD}$ とすると、その面積は $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18$。$\mathrm{AM}$ は平面 $\mathrm{ABD}$ に垂直なので高さは $\mathrm{AM}=3$。よって体積 $V$ は
$$V=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 3=18$$

三角形 $\mathrm{MBD}$ の面積

三平方の定理より
$$\mathrm{MB}=\mathrm{MD}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5},\mathrm{BD}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$$
余弦定理より
$$\cos \angle \mathrm{BMD}=\frac{45+45-72}{2\cdot 3\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$$
$0^{\circ }<\angle \mathrm{BMD}<180^{\circ }$ より $\sin \angle \mathrm{BMD}>0$ なので
$$\sin \angle \mathrm{BMD}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$
よって
$$△\mathrm{MBD}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}=\frac{1}{2}\cdot 45\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}=9\sqrt{6}$$

垂線の長さ

求める垂線の長さを $h$ とすると、三角形 $\mathrm{MBD}$ を底面とみて同じ四面体の体積を表すと
$$\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{6}\cdot h=18$$
よって
$$h=\frac{18\cdot 3}{9\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$$

A を原点、$\mathrm{B}=(6,0,0)$, $\mathrm{D}=(0,6,0)$, $\mathrm{E}=(0,0,6)$ とおくと $\mathrm{M}=(0,0,3)$。平面 MBD は切片形で $\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1$、すなわち $x+y+2z=6$。A から平面への距離は $\frac{|0+0+0-6|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$。検算: 四面体 AMBD の体積は $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot 3=18$。$△\mathrm{MBD}$ は $\mathrm{MB}=\mathrm{MD}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, $\mathrm{BD}=6\sqrt{2}$ で、底辺 BD の中点までの高さは $\sqrt{45-18}=3\sqrt{3}$ なので面積は $\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{6}$。垂線の長さ $h=\frac{3\cdot 18}{9\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$ で一致する。