図形と計量の問題

方針 四面体の体積 $V$ を $△\mathrm{BCD}$ を底面として求めます。次に、$△\mathrm{ABC}$ を底面と見て垂線の長さを出します。

(1) $△\mathrm{BCD}$ の角と面積

$\angle \mathrm{BDC}=\theta$ とおきます。余弦定理より
$$\cos \theta =\frac{{\mathrm{CD}}^2+{\mathrm{DB}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot \mathrm{CD}\cdot \mathrm{DB}}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$
なので $\theta =60^{\circ }$ です。よって
$$△\mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}.$$

(2) $△\mathrm{BCD}$ の外接円の半径

外接円の半径を $R$ とします。正弦定理より
$$2R=\frac{\mathrm{BC}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$$
なので $R=\frac{7}{\sqrt{3}}$ です。

(3) 四面体の高さと体積

頂点 $\mathrm{A}$ から平面 $\mathrm{BCD}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とします。$△\mathrm{AHB}$、$△\mathrm{AHC}$、$△\mathrm{AHD}$ はいずれも $\angle \mathrm{AHB}=\angle \mathrm{AHC}=\angle \mathrm{AHD}=90^{\circ }$ の直角三角形です。さらに辺 $\mathrm{AH}$ が共通で、斜辺は $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=7$ と等しいので、3 つは合同です。したがって $\mathrm{HB}=\mathrm{HC}=\mathrm{HD}$ となり、$\mathrm{H}$ は $△\mathrm{BCD}$ の外心で、$\mathrm{HB}=R=\frac{7}{\sqrt{3}}$ です。

三平方の定理より
$${\mathrm{AH}}^2=7^2-{\left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)}^2=49-\frac{49}{3}=\frac{98}{3}$$
なので
$$\mathrm{AH}=\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{6}}{3}.$$
よって
$$V=\frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot \frac{7\sqrt{6}}{3}=\frac{70\sqrt{18}}{9}=\frac{70\cdot 3\sqrt{2}}{9}=\frac{70\sqrt{2}}{3}.$$

(4) $△\mathrm{ABC}$ の面積

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=7$ より、$△\mathrm{ABC}$ は 1 辺 $7$ の正三角形です。
$$△\mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 7^2=\frac{49\sqrt{3}}{4}.$$

(5) 垂線の長さ

求める垂線の長さを $d$ とします。$△\mathrm{ABC}$ を底面と見ると $V=\frac{1}{3}\cdot △\mathrm{ABC}\cdot d$ なので
$$d=\frac{3V}{△\mathrm{ABC}}=\frac{70\sqrt{2}}{\frac{49\sqrt{3}}{4}}=\frac{280\sqrt{2}}{49\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{2}}{7\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{6}}{21}.$$

答え $\frac{40\sqrt{6}}{21}$

△ABC は一辺 7 の正三角形である。空間座標を B=(0,0,0), C=(7,0,0), A=(7/2, 7√3/2, 0) とおき、D=(x,y,z) とする。ただし z>0 としてよい。このとき、頂点 D から平面 ABC に下ろした垂線の長さは z である。

DB=8 より $x^2+y^2+z^2=64$ …①
DC=5 より $(x-7{)}^2+y^2+z^2=25$ …②
①−② より $14x-49=39$ なので $x=\frac{44}{7}$。

DA=7 より $(x-\frac{7}{2}{)}^2+(y-\frac{7\sqrt{3}}{2}{)}^2+z^2=49$。展開して①を代入すると
$64-7x-7\sqrt{3}y+49=49$。
よって $7\sqrt{3}y=64-7x=64-44=20$ となり、$y=\frac{20}{7\sqrt{3}}$。

①に代入して
$z^2=64-\frac{1936}{49}-\frac{400}{147}=\frac{9408-5808-400}{147}=\frac{3200}{147}$。
ゆえに $z=\frac{40\sqrt{2}}{7\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{6}}{21}$。

検算：$x^2+y^2+z^2=\frac{1936}{49}+\frac{400}{147}+\frac{3200}{147}=\frac{5808+400+3200}{147}=\frac{9408}{147}=64$ となり、DB=8 を満たす。