図形と計量の問題

求める距離を $d$ とし、四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積 $V$ を 2 通りに表します。

1. 底面を $△\mathrm{ABC}$、高さを $\mathrm{AD}$ とみて体積を求める

辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とします。$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ なので $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$ であり、$\mathrm{BM}=3$ です。三平方の定理より
$$\mathrm{AM}=\sqrt{5^2-3^2}=4$$
よって
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$$
$\mathrm{AD}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直なので、$\mathrm{AD}=4$ が高さになり、
$$V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 4=16$$

2. $△\mathrm{BCD}$ の面積を求める

$\mathrm{AD}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直なので、$\angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{DAC}=90^{\circ }$ です。三平方の定理より
$$\mathrm{DB}=\mathrm{DC}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$$
$△\mathrm{BCD}$ は $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ の二等辺三角形なので $\mathrm{DM}\perp \mathrm{BC}$ であり、
$$\mathrm{DM}=\sqrt{41-3^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
よって
$$△\mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}=12\sqrt{2}$$

3. 底面を $△\mathrm{BCD}$ に取り替えて体積を表す

底面を $△\mathrm{BCD}$ とみると、高さは頂点 $\mathrm{A}$ と平面 $\mathrm{BCD}$ との距離 $d$ です。同じ四面体の体積なので
$$V=\frac{1}{3}\cdot △\mathrm{BCD}\cdot d$$
$$16=\frac{1}{3}\cdot 12\sqrt{2}\cdot d$$
$$16=4\sqrt{2}d$$
$$d=\frac{16}{4\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$

したがって、求める距離は $2\sqrt{2}$ です。

AD ⊥ 平面ABC なので、Aを原点とみなして考える。BCの中点をMとすると、AB=AC=5, BC=6 より AM⊥BC かつ AM=√(25−9)=4。

AD⊥平面ABC より AD⊥BC。また AM⊥BC なので、BC⊥平面AMD。よって平面BCD⊥平面AMD で、交線はDM。

Aから直線DMに下ろした垂線の足をHとすると、AH⊥DM かつ AH⊥BC なので AH⊥平面BCD。したがって求める距離はAH。

三角形AMDは∠MAD=90°、AM=4、AD=4 の直角二等辺三角形。DM=4√2。
AH=AM·AD/DM=16/(4√2)=4/√2=2√2。

検算：体積で確認する。四面体の体積V=(1/3)·△ABC·AD。△ABC=(1/2)·6·4=12。V=(1/3)·12·4=16。△BCD=(1/2)·BC·DM=(1/2)·6·4√2=12√2。距離=3V/△BCD=48/(12√2)=4/√2=2√2。一致する。