図形と計量の問題

四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積 $V$ を、底面を取り替えて 2 通りに表します。

(1) 底面を $△\mathrm{ABC}$ として体積を求める

辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とします。$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ より $△\mathrm{ABC}$ は二等辺三角形なので $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$ であり、$\mathrm{BM}=3$ です。三平方の定理より
$$\mathrm{AM}=\sqrt{5^2-3^2}=4$$
よって
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$$
$\mathrm{AD}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直なので、$\mathrm{AD}=4$ が高さになります。
$$V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 4=16$$

(2) 底面を $△\mathrm{BCD}$ として面積を求める

$\mathrm{AD}\perp \mathrm{AB}$, $\mathrm{AD}\perp \mathrm{AC}$ なので、三平方の定理より
$$\mathrm{DB}=\mathrm{DC}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$$
$△\mathrm{BCD}$ も $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ の二等辺三角形なので $\mathrm{DM}\perp \mathrm{BC}$ であり、
$$\mathrm{DM}=\sqrt{41-3^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
よって
$$△\mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}=12\sqrt{2}$$

(3) 2 通りの体積の式を等しいとおく

底面を $△\mathrm{BCD}$ とすると、高さは点 $\mathrm{A}$ から平面 $\mathrm{BCD}$ までの距離 $d$ なので
$$V=\frac{1}{3}\cdot △\mathrm{BCD}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot 12\sqrt{2}\cdot d=4\sqrt{2}d$$
これが $V=16$ と等しいので
$$4\sqrt{2}d=16d=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$

答え: $d=2\sqrt{2}$

辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ より $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$ で、$\mathrm{BM}=3$ だから $\mathrm{AM}=\sqrt{25-9}=4$。

$△\mathrm{ABC}$ の面積は $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$。$\mathrm{AD}\perp$ 平面 $\mathrm{ABC}$ なので、四面体の体積は $V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 4=16$。

$\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$ かつ $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$ より、$\mathrm{BC}\perp$ 平面 $\mathrm{ADM}$。よって $\mathrm{DM}\perp \mathrm{BC}$ である。$△\mathrm{DAM}$ は $\angle \mathrm{DAM}=90^{\circ }$ の直角三角形なので $\mathrm{DM}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$。

これより $△\mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}=12\sqrt{2}$。

体積を $△\mathrm{BCD}$ を底面として表すと $V=\frac{1}{3}\cdot 12\sqrt{2}\cdot d=16$。したがって $d=\frac{48}{12\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。

検算：平面 $\mathrm{ADM}$ 内で、直角三角形 $\mathrm{DAM}$ の頂点 $\mathrm{A}$ から斜辺 $\mathrm{DM}$ に下ろした垂線の長さは $\frac{4\cdot 4}{4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。この垂線は $\mathrm{BC}$ とも垂直なので、平面 $\mathrm{BCD}$ への垂線になる。よって一致する。