図形と計量の問題

方針　四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積 $V$ を、底面を $△\mathrm{ABC}$ とする場合と、底面を $△\mathrm{DBC}$ とする場合の 2 通りで表します。底面を $△\mathrm{DBC}$ としたときの高さが、求める距離 $d$ です。

1. 底面を $△\mathrm{ABC}$ として体積を求める

$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$ なので
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$$
辺 $\mathrm{DA}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直なので、高さは $\mathrm{DA}=4$ です。よって
$$V=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 4=8$$

2. $△\mathrm{DBC}$ の面積を求める

$\mathrm{DA}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直なので、$\mathrm{DA}\perp \mathrm{AB}$、$\mathrm{DA}\perp \mathrm{AC}$ です。三平方の定理より
$$\mathrm{DB}=\sqrt{4^2+3^2}=5,\mathrm{AC}=\sqrt{3^2+4^2}=5$$
$$\mathrm{DC}=\sqrt{{\mathrm{DA}}^2+{\mathrm{AC}}^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$$
ここで
$${\mathrm{DB}}^2+{\mathrm{BC}}^2=25+16=41={\mathrm{DC}}^2$$
なので、三平方の定理の逆より $\angle \mathrm{DBC}=90^{\circ }$ です。したがって
$$△\mathrm{DBC}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4=10$$

3. 底面を $△\mathrm{DBC}$ として体積を表し、$d$ を求める

底面を $△\mathrm{DBC}$ とすると、高さは点 $\mathrm{A}$ と平面 $\mathrm{DBC}$ の距離 $d$ なので
$$V=\frac{1}{3}\cdot △\mathrm{DBC}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot 10\cdot d$$
これが 1 で求めた $V=8$ に等しいから
$$\frac{10}{3}d=8\text{よって}d=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$$

座標を設定する。B を原点、BA を x 軸、BC を y 軸にとり、A(3,0,0)、B(0,0,0)、C(0,4,0)、D(3,0,4) とする（DA は平面 ABC に垂直で DA=4、∠ABC=90°）。

平面 DBC は B(0,0,0) を通り、BC=(0,4,0)、BD=(3,0,4) で張られる。法線ベクトルは BC×BD = (4·4−0·0, 0·3−0·4, 0·0−4·3) = (16, 0, −12)。これを 4 で割って (4,0,−3) とする。平面の方程式は 4x−3z=0。

点 A(3,0,0) からの距離は d = |4·3−0|/√(16+9) = 12/5。

検算：BC ⊥ 平面 DAB（BC ⊥ AB、BC ⊥ DA）なので、BC ⊥ 平面 DAB 内の線分であり、平面 DBC ⊥ 平面 DAB。したがって A から平面 DBC への垂線の足は直線 BD 上にある。三角形 DAB は ∠DAB=90°、AB=3、AD=4、BD=5 の直角三角形で、A から BD への高さは 3·4/5=12/5。一致する。