図形と計量の問題

手順 1：$\angle \mathrm{A}$ を求める

$△\mathrm{ABC}$ で余弦定理を使うと
$$\cos A=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}}=\frac{64+225-169}{2\cdot 8\cdot 15}=\frac{120}{240}=\frac{1}{2}$$
である。よって $A=60^{\circ }$、$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

手順 2：底面積 $S$ を求める
$$S=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$$

手順 3：外接円の半径 $R$ を求める

正弦定理より $\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}=2R$ なので
$$R=\frac{13}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{13}{\sqrt{3}}$$
であり、$R^2=\frac{169}{3}$ となる。

手順 4：垂線の足が外心であることを使う

点 $\mathrm{P}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に垂線 $\mathrm{PH}$ を下ろす。$△\mathrm{PAH}$, $△\mathrm{PBH}$, $△\mathrm{PCH}$ はどれも $\angle \mathrm{H}=90^{\circ }$ の直角三角形で、斜辺 $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$ であり、辺 $\mathrm{PH}$ は共通である。三平方の定理より
$$\mathrm{AH}=\sqrt{{\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{PH}}^2}=\sqrt{{\mathrm{PB}}^2-{\mathrm{PH}}^2}=\mathrm{BH}$$
となり、同じように $\mathrm{BH}=\mathrm{CH}$ もいえる。よって $\mathrm{AH}=\mathrm{BH}=\mathrm{CH}$ だから、$\mathrm{H}$ は $△\mathrm{ABC}$ の外心であり、$\mathrm{AH}=R$ である。

手順 5：高さ $h=\mathrm{PH}$ を求める

直角三角形 $\mathrm{PAH}$ で三平方の定理を使うと
$$h=\sqrt{{\mathrm{PA}}^2-R^2}=\sqrt{169-\frac{169}{3}}=\sqrt{\frac{338}{3}}=\frac{13\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{13\sqrt{6}}{3}$$

手順 6：体積を求める
$$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot 30\sqrt{3}\cdot \frac{13\sqrt{6}}{3}=\frac{390\sqrt{18}}{9}=\frac{390\cdot 3\sqrt{2}}{9}=130\sqrt{2}$$

したがって $V=130\sqrt{2}$ である。

底面 $△ABC$ の辺は $8,13,15$。$s=18$ なので、ヘロンの公式より面積は $S=\sqrt{18\cdot 10\cdot 5\cdot 3}=\sqrt{2700}=30\sqrt{3}$。

$PA=PB=PC$ より、$P$ から底面に下ろした垂線の足 $H$ は $△ABC$ の外心。外接円の半径は
$$R=\frac{8\cdot 13\cdot 15}{4S}=\frac{1560}{120\sqrt{3}}=\frac{13}{\sqrt{3}}$$

高さは
$$PH=\sqrt{13^2-R^2}=\sqrt{169-\frac{169}{3}}=\sqrt{\frac{338}{3}}=\frac{13\sqrt{6}}{3}$$

体積は
$$V=\frac{1}{3}\cdot 30\sqrt{3}\cdot \frac{13\sqrt{6}}{3}=\frac{130\sqrt{18}}{3}=130\sqrt{2}$$

検算：$\cos A=\frac{8^2+15^2-13^2}{2\cdot 8\cdot 15}=\frac{120}{240}=\frac{1}{2}$、$A=60^{\circ }$。よって $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{13}{\sqrt{3}}$ で、上の値と一致する。