図形と計量の問題

1. $△\mathrm{ABC}$ の角と面積を求める

余弦定理より
$$\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}}=\frac{9+64-49}{2\cdot 3\cdot 8}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$$
よって $\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ }$ で、$\sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

$△\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とすると
$$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$$

2. 垂線の足が外心になることを確かめる

頂点 $\mathrm{P}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に垂線 $\mathrm{PH}$ を下ろす。$△\mathrm{PHA}$, $△\mathrm{PHB}$, $△\mathrm{PHC}$ はどれも $\angle \mathrm{PHA}=\angle \mathrm{PHB}=\angle \mathrm{PHC}=90^{\circ }$ の直角三角形で、辺 $\mathrm{PH}$ が共通、斜辺が $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$ である。よってこの 3 つの直角三角形は合同で、$\mathrm{HA}=\mathrm{HB}=\mathrm{HC}$ となる。したがって $\mathrm{H}$ は $△\mathrm{ABC}$ の外心で、$\mathrm{HA}$ は外接円の半径 $R$ に等しい。

3. 外接円の半径 $R$ を求める

正弦定理より
$$\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{BAC}}=2R\text{から}R=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}},R^2=\frac{49}{3}$$

4. 高さ $h=\mathrm{PH}$ を求める

直角三角形 $\mathrm{PHA}$ で三平方の定理を使うと
$$h^2={\mathrm{PA}}^2-R^2=17-\frac{49}{3}=\frac{2}{3}$$
$h>0$ より $h=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

5. 体積を求める
$$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{6\sqrt{18}}{9}=\frac{18\sqrt{2}}{9}=2\sqrt{2}$$

よって、体積は $2\sqrt{2}$ である。

$△\mathrm{ABC}$ で余弦定理より $\cos B=\frac{3^2+7^2-8^2}{2\cdot 3\cdot 7}=-\frac{1}{7}$。よって $\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。
面積は $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 7\cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}=6\sqrt{3}$。ヘロンの公式（$s=9$、$\sqrt{9\cdot 6\cdot 2\cdot 1}=6\sqrt{3}$）でも一致する。
$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$ より、$\mathrm{P}$ から底面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足は $△\mathrm{ABC}$ の外心 $\mathrm{O}$ である。
正弦定理より外接円の半径 $R$ は $R=\frac{8}{2\sin B}=\frac{8}{8\sqrt{3}/7}=\frac{7}{\sqrt{3}}$ なので、$R^2=\frac{49}{3}$。
高さは $h=\mathrm{PO}=\sqrt{17-\frac{49}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
体積は $V=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{18}}{3}=2\sqrt{2}$。
鈍角三角形なので外心は三角形の外にあるが、垂線の足が外心であることに変わりはなく、体積の計算に影響しない。