図形と計量の問題

方針 $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$ なので、頂点 $\mathrm{P}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ は $△\mathrm{ABC}$ の外心になります。

1. 垂線の足が外心になる理由
$△\mathrm{PAH}$, $△\mathrm{PBH}$, $△\mathrm{PCH}$ はどれも $\angle \mathrm{PHA}=\angle \mathrm{PHB}=\angle \mathrm{PHC}=90^{\circ }$ の直角三角形で、斜辺 $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$、辺 $\mathrm{PH}$ は共通です。三平方の定理から
$$\mathrm{AH}=\mathrm{BH}=\mathrm{CH}=\sqrt{{\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{PH}}^2}$$
となるので、$\mathrm{H}$ は $△\mathrm{ABC}$ の外心で、$\mathrm{AH}$ は外接円の半径 $R$ に等しくなります（$\angle \mathrm{A}$ が鈍角なので $\mathrm{H}$ は三角形の外側にありますが、同じように考えられます）。

2. $\mathrm{BC}$ を求める（余弦定理）
$${\mathrm{BC}}^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos 120^{\circ }=16+16-32\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=48$$
よって $\mathrm{BC}=4\sqrt{3}$。

3. 外接円の半径 $R$ を求める（正弦定理）
$$2R=\frac{\mathrm{BC}}{\sin 120^{\circ }}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$$
よって $R=4$。

4. 高さ $h=\mathrm{PH}$ を求める（三平方の定理）
$$h=\sqrt{{\mathrm{PA}}^2-R^2}=\sqrt{25-16}=3$$

5. 底面積 $S$ を求める
$$S=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$$

6. 体積を求める
$$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 3=4\sqrt{3}$$

三角形 ABC で、余弦定理より $B{C}^2=16+16-2\cdot 4\cdot 4\cos 120^{\circ }=32+16=48$ なので $BC=4\sqrt{3}$。
面積は $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\sin 120^{\circ }=4\sqrt{3}$。
外接円の半径 $R$ は正弦定理より $2R=BC/\sin 120^{\circ }=4\sqrt{3}/(\sqrt{3}/2)=8$ なので $R=4$。
PA=PB=PC なので、P から平面 ABC に下ろした垂線の足 H は三角形 ABC の外心である。よって $AH=4$。
高さは $PH=\sqrt{P{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{25-16}=3$。
体積は $V=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 3=4\sqrt{3}$。
検算: 外心 H は A から距離 4 で、AB=AC=4 なので H は A,B,C を通る円の中心。三角形 ABH は正三角形になり、これは B, C が A から距離 4 の円周上にあり、角 BAC=120° と矛盾しない。また $HB=4$ なので $P{B}^2=9+16=25$ となり、条件を満たす。