図形と計量の問題

$\mathrm{AC}$ の長さ $△\mathrm{ACD}$ で余弦定理より
$${\mathrm{AC}}^2=8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cos 60^{\circ }=64+9-24=49$$
なので $\mathrm{AC}=7$。

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ の長さ 円に内接する四角形の向かい合う角の和は $180^{\circ }$ なので $\angle \mathrm{ABC}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$。$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=x$ とおくと、$△\mathrm{ABC}$ で余弦定理より
$$49=x^2+x^2-2x^2\cos 120^{\circ }=3x^2$$
よって $x^2=\frac{49}{3}$、$x=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。
また $△\mathrm{ABC}$ は頂角 $120^{\circ }$ の二等辺三角形なので $\angle \mathrm{BAC}=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$。

$\angle \mathrm{BDC}$ 4 点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ はこの順に円周上にあり、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{D}$ は弦 $\mathrm{BC}$ に関して同じ側にある。円周角の定理より
$$\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{BAC}=30^{\circ }.$$

$\mathrm{BD}$ の長さ $\mathrm{BD}=t(t>0)$ とおき、$△\mathrm{BCD}$ で余弦定理を使うと
$${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{BD}}^2+{\mathrm{CD}}^2-2\cdot \mathrm{BD}\cdot \mathrm{CD}\cos 30^{\circ }$$
$$\frac{49}{3}=t^2+9-2\cdot t\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=t^2-3\sqrt{3}t+9.$$
両辺を 3 倍して整理すると
$$3t^2-9\sqrt{3}t-22=0.$$
解の公式より
$$t=\frac{9\sqrt{3}\pm \sqrt{243+264}}{6}=\frac{9\sqrt{3}\pm \sqrt{507}}{6}=\frac{9\sqrt{3}\pm 13\sqrt{3}}{6}.$$
$t>0$ より
$$t=\frac{22\sqrt{3}}{6}=\frac{11\sqrt{3}}{3}.$$

（確認）$△\mathrm{ABD}$ でも $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ACB}=30^{\circ }$ なので ${\mathrm{AB}}^2=t^2+64-8\sqrt{3}t$ が成り立ち、$t=\frac{11\sqrt{3}}{3}$ を代入すると $\frac{121}{3}+64-88=\frac{49}{3}$ となって一致する。

円に内接する四角形なので $\angle ABC=180^{\circ }-\angle ADC=120^{\circ }$。

$△ACD$ に余弦定理: $A{C}^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cos 60^{\circ }=9+64-24=49$、$AC=7$。

$AB=BC=x$ とおくと、$△ABC$ で $A{C}^2=x^2+x^2-2x^2\cos 120^{\circ }=3x^2$。よって $3x^2=49$、$x=\frac{7}{\sqrt{3}}$。

トレミーの定理: $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA=3x+8x=11x$。したがって $BD=\frac{11x}{7}=\frac{11}{\sqrt{3}}=\frac{11\sqrt{3}}{3}$。

検算: $△ABD$ で $\angle BAD$ を求める代わりに、$△BCD$ と $△ABD$ の余弦定理で $B{D}^2$ を計算する。$\angle BDC=\angle BAC=30^{\circ }$（$△ABC$ は二等辺で底角 $30^{\circ }$）、$△BCD$ で $B{D}^2=x^2+9-2\cdot x\cdot 3\cos \angle BCD$ ... ではなく、$\angle CDB=\angle CAB=30^{\circ }$ を用いて $△BCD$ に余弦定理: $x^2=B{D}^2+9-6BD\cos 30^{\circ }$。$BD=\frac{11}{\sqrt{3}}$ を代入すると $B{D}^2=\frac{121}{3}$、$6BD\cos 30^{\circ }=6\cdot \frac{11}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=33$。右辺 $=\frac{121}{3}+9-33=\frac{121}{3}-24=\frac{49}{3}=x^2$ となり一致する。