図形と計量の問題

方針 向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい四面体は、直方体の 4 つの頂点（互いに隣り合わないもの）を結んでできる四面体として表せる。これを使って体積を求め、表面積と合わせて内接球の半径を求める。

直方体への埋め込み 縦・横・高さが $p,q,r$ の直方体を考え、1 つおきの頂点 4 つを結ぶと、各辺は直方体の面の対角線になり、向かい合う辺は平行な面の対角線どうしになるので長さが等しい。そこで
$$p^2+q^2=13,q^2+r^2=45,r^2+p^2=40$$
を満たす正の数 $p,q,r$ を求める。3 式を足すと $2(p^2+q^2+r^2)=98$ より $p^2+q^2+r^2=49$。これから
$$r^2=49-13=36,p^2=49-45=4,q^2=49-40=9$$
となり、$p=2,q=3,r=6$ である。6 本の辺の長さが与えられた四面体は形が 1 通りに決まるので、四面体 $\mathrm{ABCD}$ はこの $2\times 3\times 6$ の直方体から作られる四面体と合同である（$\mathrm{AB}=\sqrt{2^2+3^2}$, $\mathrm{AC}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$, $\mathrm{AD}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$ と対応させる）。

体積 直方体から、四面体の外側にある 4 つの三角錐を取り除く。各三角錐は直方体の 1 つの頂点に集まる 3 辺を辺とするので、体積は $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}pq\cdot r=\frac{pqr}{6}$。よって四面体の体積 $V$ は
$$V=pqr-4\cdot \frac{pqr}{6}=\frac{pqr}{3}=\frac{2\cdot 3\cdot 6}{3}=12.$$

表面積 4 つの面はどれも 3 辺が $\sqrt{13},3\sqrt{5},2\sqrt{10}$ の三角形なので合同である。1 つの面で、長さ $\sqrt{13}$ と $3\sqrt{5}$ の辺にはさまれる角を $\theta$ とすると、余弦定理より
$$\cos \theta =\frac{13+45-40}{2\cdot \sqrt{13}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{18}{6\sqrt{65}}=\frac{3}{\sqrt{65}}.$$
$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$ で
$$\sin \theta =\sqrt{1-\frac{9}{65}}=\sqrt{\frac{56}{65}}=\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{65}}.$$
よって 1 つの面の面積は
$$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{13}\cdot 3\sqrt{5}\cdot \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{65}}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{65}\cdot \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{65}}=3\sqrt{14}$$
で、表面積は $S=4\cdot 3\sqrt{14}=12\sqrt{14}$。

内接球の半径 内接球の中心を $\mathrm{I}$、半径を $\rho$ とすると、四面体は $\mathrm{I}$ を頂点とし各面を底面とする高さ $\rho$ の 4 つの三角錐に分けられるので
$$V=\frac{1}{3}\rho S.$$
したがって
$$\rho =\frac{3V}{S}=\frac{36}{12\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}.$$

向かい合う辺が等しい四面体（等面四面体）なので、直方体に埋め込める。直方体の辺を $x,y,z$ とし、面の対角線が $x^2+y^2=13$, $y^2+z^2=40$, $z^2+x^2=45$ となるようにとる。3 式を足して $x^2+y^2+z^2=49$。よって $z^2=49-13=36$, $x^2=49-40=9$, $y^2=49-45=4$、すなわち $x=3,y=2,z=6$。

体積は直方体から 4 つの角の三角錐（各 $\frac{1}{6}xyz$）を除いて $V=xyz-4\cdot \frac{1}{6}xyz=\frac{1}{3}xyz=\frac{36}{3}=12$。

4 つの面は合同で、3 辺が $\sqrt{13},2\sqrt{10},3\sqrt{5}$（2 乗が $13,40,45$）の三角形。ヘロンの公式の変形 $16S^2=2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)-(a^4+b^4+c^4)$ より、$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2=520+1800+585=2905$、$a^4+b^4+c^4=169+1600+2025=3794$ なので $16S^2=5810-3794=2016$、$S^2=126$、$S=3\sqrt{14}$。

表面積は $4S=12\sqrt{14}$。内接球の半径 $r$ は $V=\frac{1}{3}r\cdot (4S)$ より $r=\frac{3V}{4S}=\frac{36}{12\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}$。

検算: 面の 1 つの 3 辺が $\sqrt{13},\sqrt{40},\sqrt{45}$ のとき、頂点を $(0,0,0),(3,2,0),(3,0,6),(0,2,6)$ ととると辺長は $\sqrt{13},\sqrt{45},\sqrt{40}$ などとなり条件に合う。面 $(3,2,0),(3,0,6),(0,2,6)$ のベクトル外積から面積を求めても $3\sqrt{14}$ になる。