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電力・電気機器の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電力・電気機器

単相 2 線式の配電線で負荷に電力を送る。配電線の抵抗は往復で $R = 0.4 Ω$ 、リアクタンスは往復で $X = 1.2 Ω$ であり、配電線の静電容量は無視する。受電端の電圧の大きさは $V_{r} = 2900 V$ に保たれており、負荷は有効電力 $P = 725 kW$ 、遅れ無効電力 $Q = 500 kvar$ を消費する。

力率改善のため、受電端で負荷と並列に損失のないコンデンサを接続する。コンデンサの容量（コンデンサが供給する進み無効電力 $Q_{C}$ ）を調整して、送電端の電圧の大きさが受電端の電圧の大きさ $V_{r}$ と等しくなるようにしたい。この条件を満たす $Q_{C}$ のうち小さい方を、kvar 単位で求めよ。ただし、近似式は用いず、電圧のフェーザ（複素数）の関係から厳密に求めること。

この問題で使うもの

送電線の電圧降下（説明と入口の問題）
送電線の電力損失と力率改善（説明と入口の問題）
2次方程式の解の公式と判別式（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

受電端電圧を基準にとり、コンデンサ接続後の合成の無効電力を $Q^{'} = Q - Q_{C}$ として線路電流をフェーザで表し、送電端電圧 $V ˙_{s} = V_{r} + (R + j X) I ˙$ を求めよう。

ヒント 2

$∣ V ˙_{s} ∣^{2} = V_{r}^{2}$ を展開すると $(R^{2} + X^{2}) (P^{2} + Q^{'2}) + 2 V_{r}^{2} (R P + X Q^{'}) = 0$ という $Q^{'}$ の 2 次方程式になる。

ヒント 3

数値を代入すると、kvar 単位で $Q^{'2} + 12615 Q^{'} + 3574250 = 0$ となる。これを因数分解して $Q^{'}$ を求め、 $Q_{C} = Q - Q^{'}$ を計算する。

答えと解説

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解説を読む

受電端電圧を基準フェーザ $V ˙_{r} = V_{r}$ （実数）にとる。コンデンサ接続後に受電端から負荷側（負荷とコンデンサの合成）が受け取る遅れ無効電力を $Q^{'} = Q - Q_{C}$ とすると、複素電力は $P + j Q^{'} = V ˙_{r} I ˙$ なので、配電線を流れる電流は
$I ˙ = \frac{P - j Q ^{'}}{V _{r}}$
配電線のインピーダンスは $R + j X$ なので、キルヒホッフの電圧則より送電端電圧は
$V ˙_{s} = V_{r} + (R + j X) I ˙ = V_{r} + \frac{R P + X Q ^{'}}{V _{r}} + j \frac{X P - R Q ^{'}}{V _{r}}$

条件 $∣ V ˙_{s} ∣ = V_{r}$ 両辺に $V_{r}$ を掛けて大きさの 2 乗をとると
$(V_{r}^{2} + R P + X Q^{'})^{2} + (X P - R Q^{'})^{2} = V_{r}^{4}$
展開すると $(R P + X Q^{'})^{2} + (X P - R Q^{'})^{2} = (R^{2} + X^{2}) (P^{2} + Q^{'2})$ なので
$(R^{2} + X^{2}) (P^{2} + Q^{'2}) + 2 V_{r}^{2} (R P + X Q^{'}) = 0$

数値の代入 電力を kW・kvar 単位で表し、 $P = 725$ , $Q^{'}$ [kvar] とする。 $R^{2} + X^{2} = 0.16 + 1.44 = 1.6 Ω^{2}$ 、 $V_{r}^{2} = 8.41 \times 1 0^{6} V^{2}$ である。単位を W・var にそろえると $P$ と $Q^{'}$ は $1 0^{3}$ 倍になるので
$1.6 \times 1 0^{6} (72 5^{2} + Q^{'2}) + 2 \times 8.41 \times 1 0^{6} \times 1 0^{3} (0.4 \times 725 + 1.2 Q^{'}) = 0$
両辺を $1.6 \times 1 0^{6}$ で割ると
$72 5^{2} + Q^{'2} + 10512.5 (290 + 1.2 Q^{'}) = 0$
$525625 + Q^{'2} + 3048625 + 12615 Q^{'} = 0$
$Q^{'2} + 12615 Q^{'} + 3574250 = 0$
$3574250 = 290 \times 12325$ 、 $290 + 12325 = 12615$ なので
$(Q^{'} + 290) (Q^{'} + 12325) = 0 \Rightarrow Q^{'} = - 290, - 12325$

コンデンサの容量 $Q_{C} = Q - Q^{'} = 500 - Q^{'}$ より $Q_{C} = 790$ または $12825$ [kvar]。小さい方は
$Q_{C} = 790 kvar$
（このとき負荷側は進み $290 kvar$ となり、線路リアクタンスによる電圧上昇が抵抗による電圧降下を打ち消して、送電端と受電端の電圧の大きさが等しくなる。）

別解

受電端電圧を基準 $V ˙_{r} = V_{r}$ （実数）とする。コンデンサ接続後の受電端の線路側に流れる複素電力は $P + j (Q - Q_{C})$ なので、線路電流は $I ˙ = \frac{P - j ( Q - Q _{C} )}{V _{r}}$ 。送電端電圧は $V ˙_{s} = V_{r} + (R + j X) I ˙$ 。 $Q^{'} = Q - Q_{C}$ とおくと $V ˙_{s} = V_{r} + \frac{R P + X Q ^{'}}{V _{r}} + j \frac{X P - R Q ^{'}}{V _{r}}$ 。条件 $∣ V ˙_{s} ∣ = V_{r}$ より $(V_{r}^{2} + R P + X Q^{'})^{2} + (X P - R Q^{'})^{2} = V_{r}^{4}$ 。数値は $V_{r}^{2} = 8.41 \times 1 0^{6}$ 、 $R P = 0.4 \cdot 725 \times 1 0^{3} = 2.9 \times 1 0^{5}$ 、 $X P = 1.2 \cdot 725 \times 1 0^{3} = 8.7 \times 1 0^{5}$ 。 $Q^{'} = q \times 1 0^{3} var$ として $1 0^{3}$ 単位で書くと $(8700 + 1.2 q)^{2} + (870 - 0.4 q)^{2} = 841 0^{2}$ 。展開して $1.6 q^{2} + 20184 q + 5718800 = 0$ 、すなわち $q^{2} + 12615 q + 3574250 = 0$ 。判別式 $= 1261 5^{2} - 4 \cdot 3574250 = 144841225 = 1203 5^{2}$ 。よって $q = \frac{- 12615 \pm 12035}{2} = - 290, - 12325$ 。 $Q_{C} = Q - q = 500 - q$ なので $Q_{C} = 790$ または $12825$ kvar。小さい方は $790$ kvar。検算: $q = - 290$ のとき $(8700 - 348)^{2} + (870 + 116)^{2} = 835 2^{2} + 98 6^{2} = 69755904 + 972196 = 70728100 = 841 0^{2}$ で成立。

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