電力・電気機器の問題

線路上の電圧は位相も一定とみなすので、電流を電圧と同相の成分（有効分）と $90^{\circ }$ 遅れた成分（無効分）に分けて考えられる。力率 $0.8$（遅れ）より、負荷全体の有効分電流は $I_p=0.8I$、無効分電流は $I_q=0.6I$ である。コンデンサの進み電流 $I_C$ は無効分だけを打ち消す。

各点を流れる電流 送電端から距離 $x$ の点を流れる電流は、その点より先（$x$ から $L$ まで）の負荷とコンデンサへの電流の和である。$u=x/L$、$a=x_0/L$、$c=I_C/I_q$ とおくと、
- 有効分: $I_p(1-u)$
- 無効分: $u<a$ では $I_q(1-u-c)$、$u>a$ では $I_q(1-u)$

である。有効分と無効分は直交するので、電流の大きさの 2 乗はそれぞれの 2 乗の和になる。したがって線路損失は
$$P={\int }_0^{L}r|i(x){|}^{2}dx=rL\left[I_p^2{\int }_0^1(1-u{)}^{2}du+I_q^{2}F(a,c)\right]$$
$$F(a,c)={\int }_0^a(1-u-c{)}^{2}du+{\int }_a^1(1-u{)}^{2}du$$
である。有効分の項は $x_0,I_C$ によらないので、$F(a,c)$ を最小にすればよい。

コンデンサがないとき $F(a,0)={\int }_0^1(1-u{)}^{2}du=\frac{1}{3}$ なので
$$P_0=rL\cdot \frac{I_p^2+I_q^2}{3}=\frac{rL{I}^2}{3}.$$

最小化 $c$ で偏微分して $0$ とおくと
$$\frac{\partial F}{\partial c}=-2{\int }_0^a(1-u-c)du=-2\left(a-\frac{a^2}{2}-ca\right)=0$$
より（$a>0$ として）$c=1-\frac{a}{2}$ $(1)$。
$a$ で偏微分して $0$ とおくと
$$\frac{\partial F}{\partial a}=(1-a-c{)}^2-(1-a{)}^2=c\{c-2(1-a)\}=0$$
より（$c>0$ として）$c=2(1-a)$ $(2)$。
$(1)$, $(2)$ から $1-\frac{a}{2}=2-2a$、すなわち $a=\frac{2}{3}$、$c=\frac{2}{3}$ である。

このとき
$$F={\int }_0^{2/3}{\left(\frac{1}{3}-u\right)}^{2}du+{\int }_{2/3}^1(1-u{)}^{2}du=\frac{1}{3}\left[{\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\right]+\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{2}{81}+\frac{1}{81}=\frac{1}{27}.$$
境界と比べると、$a=0$ または $c=0$ では $F=\frac{1}{3}$、$a=1$ では $(1)$ より $c=\frac{1}{2}$ で $F={\int }_0^1{\left(\frac{1}{2}-u\right)}^{2}du=\frac{1}{12}$ であり、いずれも $\frac{1}{27}$ より大きい。よって $a=c=\frac{2}{3}$ で最小となる。

答え
$$\frac{x_0}{L}=\frac{2}{3},\frac{I_C}{I}=c\cdot \frac{I_q}{I}=\frac{2}{3}\times 0.6=\frac{2}{5}.$$
最小損失は
$$P_1=rL\left(\frac{I_p^2}{3}+\frac{I_q^2}{27}\right)=rL{I}^2\left(\frac{0.64}{3}+\frac{0.36}{27}\right)=rL{I}^2\cdot \frac{0.64+0.04}{3}=\frac{0.68}{3}rL{I}^2$$
なので
$$\frac{P_1}{P_0}=0.68=\frac{17}{25}.$$

よって $\left(\frac{x_0}{L},\frac{I_C}{I},\frac{P_1}{P_0}\right)=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{5},\frac{17}{25}\right)$ である。

$u=x/L$ とおく。電圧は一定とみなすので、負荷電流の有効分は $0.8I$、遅れ無効分は $0.6I$ が一様に分布している。コンデンサ電流（進み）は遅れ無効分を打ち消す向きである。
位置 $u$ の線路を流れる電流は、有効分が $0.8I(1-u)$。無効分は $u<u_0$（$u_0=x_0/L$）で $0.6I(1-u)-I_C$、$u>u_0$ で $0.6I(1-u)$（有効分と無効分は直交するので損失は 2 乗和）。
損失 $P=rL{\int }_0^1({\text{電流}}^2)du$。$I=1$, $rL=1$ と正規化し $a=0.6$ とおく。
コンデンサなし: $P_0={\int }_0^1(0.64+0.36)(1-u{)}^{2}du=\frac{1}{3}$。
コンデンサあり: 有効分の寄与は $0.64/3$ で不変。無効分の寄与は
$Q={\int }_0^{u_0}(a(1-u)-c{)}^{2}du+{\int }_{u_0}^1{a}^2(1-u{)}^{2}du=\frac{a^2}{3}-2ac\left(u_0-\frac{u_0^2}{2}\right)+c^2{u}_0$ （$c=I_C/I$）。
$c$ について最小化: $\partial Q/\partial c=0$ より $c=a\left(1-\frac{u_0}{2}\right)$。このとき $Q=\frac{a^2}{3}-a^2{u}_0{\left(1-\frac{u_0}{2}\right)}^2$。
$f(u_0)=u_0(1-u_0/2{)}^2$ を最大化: $f^{\prime }=(1-u_0/2)(1-3u_0/2)=0$ より $u_0=\frac{2}{3}$（$0\le u_0\le 1$ 内。$u_0=2$ は範囲外）。$f=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{9}=\frac{8}{27}$。$f(0)=0$, $f(1)=1/4<8/27$ なので最大。
よって $\frac{x_0}{L}=\frac{2}{3}$、$\frac{I_C}{I}=0.6\times \frac{2}{3}=\frac{2}{5}$。
$Q_{\min }=a^2\left(\frac{1}{3}-\frac{8}{27}\right)=\frac{0.36}{27}$。
$P_1=\frac{0.64}{3}+\frac{0.36}{27}=\frac{5.76+0.36}{27}=\frac{6.12}{27}$。
$\frac{P_1}{P_0}=\frac{6.12}{27}\times 3=0.68=\frac{17}{25}$。
検算: $u_0=2/3$, $c=0.4$ で $Q={\int }_0^{2/3}(0.6(1-u)-0.4{)}^{2}du+{\int }_{2/3}^{1}0.36(1-u{)}^{2}du$。第 1 項は $v=0.2-0.6u$ とみて ${\int }_0^{2/3}(0.2-0.6u{)}^{2}du={\left[-\frac{(0.2-0.6u{)}^3}{1.8}\right]}_0^{2/3}=\frac{0.008+0.008}{1.8}=\frac{0.016}{1.8}=0.00889$。第 2 項は $0.36\cdot \frac{(1/3{)}^3}{3}=0.004444$。合計 $0.013333=0.36/27$ で一致。