三相電力

平衡三相負荷の有効電力 $P = 3 V_{l} I_{l} cos ϕ$ と無効電力 $Q = 3 V_{l} I_{l} sin ϕ$ を求め、電力と力率から線電流を求められる

前提

三相交流の Y 結線と Δ 結線（大学物理電力・電気機器）

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算数中学高校大学大学院

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三相交流の Y 結線と Δ 結線（大学物理電力・電気機器）

説明

工場の動力設備や送配電では、3 本（または 4 本）の電線で三相交流の電力を送ります。この技能では、平衡三相負荷（3 つの相がまったく同じ負荷）が消費する有効電力 $P = 3 V_{l} I_{l} cos ϕ$ と無効電力 $Q = 3 V_{l} I_{l} sin ϕ$ を、線間電圧 $V_{l}$ と線電流 $I_{l}$ という「外から測りやすい量」で求めます。逆に、モーターなどの定格の電力と力率から線電流を求めれば、電線やブレーカーの太さ・容量を決める目安になります。

なぜそうしてよいのか

まず 1 相分の電力を考えます。相電圧と相電流の実効値を $V_{p}, I_{p}$ とし、 $v = 2 V_{p} sin ω t$ 、 $i = 2 I_{p} sin (ω t - ϕ)$ とします。ここで $ϕ$ （ $- \frac{π}{2} \leq ϕ \leq \frac{π}{2}$ ）は電流が電圧より遅れている位相の角で、 $ϕ > 0$ なら電流が遅れている（遅れ力率。コイルを含むモーターなど）、 $ϕ < 0$ なら電流が進んでいる（進み力率。コンデンサーを含む負荷など）ことを表します。瞬間の電力は積和の公式で
$v i = 2 V_{p} I_{p} sin ω t sin (ω t - ϕ) = V_{p} I_{p} {cos ϕ - cos (2 ω t - ϕ)}$
となり、第 2 項は 1 周期で平均すると 0 なので、平均の電力（有効電力）は $V_{p} I_{p} cos ϕ$ です。 $cos ϕ$ （ $\geq 0$ ）を力率といいます。電源と負荷の間を行き来するだけで平均すると消費されない電力の目安として $V_{p} I_{p} sin ϕ$ を無効電力（単位 var）と呼びます。この定義では、遅れ力率（ $ϕ > 0$ ）なら $sin ϕ > 0$ で無効電力は正（遅れ無効電力）、進み力率（ $ϕ < 0$ ）なら $sin ϕ < 0$ で無効電力は負（進み無効電力）になります。 $cos ϕ$ は $ϕ$ の正負で変わらないので、有効電力の式は遅れでも進みでも同じです。

平衡三相負荷では 3 つの相が同じ電力を消費するので、全体は $P = 3 V_{p} I_{p} cos ϕ$ 、 $Q = 3 V_{p} I_{p} sin ϕ$ です。これを線間電圧 $V_{l}$ と線電流 $I_{l}$ で書き直します。Y 結線では $V_{p} = \frac{V _{l}}{3}$ 、 $I_{p} = I_{l}$ なので $3 V_{p} I_{p} = 3 \cdot \frac{V _{l}}{3} \cdot I_{l} = 3 V_{l} I_{l}$ 。Δ 結線では $V_{p} = V_{l}$ 、 $I_{p} = \frac{I _{l}}{3}$ なので、やはり $3 V_{p} I_{p} = 3 V_{l} I_{l}$ 。どちらの結線でも
$P = 3 V_{l} I_{l} cos ϕ, Q = 3 V_{l} I_{l} sin ϕ$
となります。ここで $ϕ$ は「相電圧と相電流」の位相差（負荷 1 相のインピーダンスの角度）であり、線間電圧と線電流の位相差ではないことに注意します。

$3 V_{l} I_{l}$ は皮相電力 $S$ （単位 V·A）と呼ばれ、 $P = S cos ϕ$ 、 $Q = S sin ϕ$ 、 $S^{2} = P^{2} + Q^{2}$ が成り立ちます。電力と力率がわかっていれば、 $P = 3 V_{l} I_{l} cos ϕ$ を $I_{l}$ について解いて線電流が求まります。

手順

与えられた電圧が線間電圧 $V_{l}$ か相電圧 $V_{p}$ かを確かめ、必要なら結線に応じて $V_{l}$ と線電流 $I_{l}$ に直す（Y： $V_{l} = 3 V_{p}$ 、Δ： $I_{l} = 3 I_{p}$ ）。
力率 $cos ϕ$ と、遅れか進みかを確かめる。無効電力が必要なら、遅れ力率（ $ϕ > 0$ ）では $sin ϕ = 1 - cos^{2} ϕ$ 、進み力率（ $ϕ < 0$ ）では $sin ϕ = - 1 - cos^{2} ϕ$ とする（進みなら $Q < 0$ になる）。
有効電力 $P = 3 V_{l} I_{l} cos ϕ$ 、無効電力 $Q = 3 V_{l} I_{l} sin ϕ$ を計算する。
線電流を求めるときは、 $I_{l} = \frac{P}{3 V _{l} cos ϕ}$ とする（ $cos ϕ \neq = 0$ ）。

例題

線間電圧 $200 V$ の対称三相電源に、消費電力（有効電力） $16 kW$ 、力率 $0.8$ （遅れ）の平衡三相負荷が接続されている。線電流 [A] を正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1：線間電圧は $V_{l} = 200 V$ 。

手順 2：力率は $cos ϕ = 0.8$ （遅れ、 $ϕ > 0$ ）。線電流を求めるのに $sin ϕ$ は使わない。

手順 3：有効電力 $P = 16000 W$ が与えられているので、 $P, Q$ の計算はここでは不要（参考： $sin ϕ = 0.6$ で $Q = P \cdot \frac{sin ϕ}{cos ϕ} = 12000 var$ ）。

手順 4： $P = 3 V_{l} I_{l} cos ϕ$ を $I_{l}$ について解くと
$I_{l} = \frac{P}{3 V _{l} cos ϕ} = \frac{16 000}{3 \times 200 \times 0.8} = \frac{16 000}{160 3} = \frac{100}{3} = \frac{100 3}{3} A (\approx 57.7 A)$

答え: $\frac{100 3}{3}$

よくある誤り

相の数の 3 を掛けて $P = 3 V_{l} I_{l} cos ϕ$ としてしまう誤り。 $3$ を掛けるのは相電圧・相電流で表した $3 V_{p} I_{p} cos ϕ$ のとき。線間電圧・線電流で表すと、正しくは $P = 3 V_{l} I_{l} cos ϕ$ 。
$3$ を落として $P = V_{l} I_{l} cos ϕ$ としてしまう誤り。例題でこうすると $I_{l} = \frac{16 000}{200 \times 0.8} = 100 A$ となるが、正しくは $\frac{100}{3} \approx 57.7 A$ 。
$ϕ$ を線間電圧と線電流の位相差だと考えてしまう誤り。Y 結線では線間電圧と相電圧の位相が $\frac{π}{6}$ ずれるので、両者は一致しない。正しくは $ϕ$ は相電圧と相電流の位相差（負荷の力率角）で、 $cos ϕ$ は負荷の力率そのもの。
無効電力を $Q = 3 V_{l} I_{l} cos ϕ$ や $Q = P sin ϕ$ としたり、進み力率でも $Q > 0$ としたりしてしまう誤り。正しくは $Q = 3 V_{l} I_{l} sin ϕ$ 、または $Q = P tan ϕ$ （例題なら $sin ϕ = 0.6$ で $Q = 16000 \times \frac{0.6}{0.8} = 12000 var$ 。同じ条件で力率 $0.8$ 進みなら $sin ϕ = - 0.6$ で $Q = - 12000 var$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
線間電圧 $V_{l} = 200 V$ の対称三相交流電源に平衡三相負荷をつないだところ、線電流は $I_{l} = 10 A$ 、負荷の力率は $cos ϕ = 0.8$ （遅れ）であった。この負荷が消費する有効電力 $P$ は何 W か。根号を含む正確な値で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

送電線の電力損失と力率改善（大学物理電力・電気機器）