電力・電気機器の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理電力・電気機器

三相 3 線式の送電線で、受電端に接続された平衡三相負荷に電力を送る。送電線の 1 線あたりの抵抗は $R = 1.0 Ω$ 、リアクタンスは $X = 3.0 Ω$ である。線路の静電容量は無視する。

受電端の線間電圧の大きさは常に $V = 5800 V$ に保たれている。負荷の消費電力は $P = 1160 kW$ 、力率は $0.8$ （遅れ）である。

受電端で負荷と並列に三相コンデンサを接続し、送電端の線間電圧の大きさを受電端と同じ $5800 V$ にしたい（電圧降下を $0$ にする）。コンデンサは受電端の線間電圧 $5800 V$ のもとで三相合計 $Q_{C}$ の進み無効電力を供給する。この条件を満たす $Q_{C}$ は 2 つあるが、そのうち小さいほうを $kvar$ 単位で求めよ。ただし、送電端電圧と受電端電圧の関係は近似式を使わず、フェーザを用いて厳密に扱うこと。

この問題で使うもの

送電線の電圧降下（説明と入口の問題）
三相電力（説明と入口の問題）
2次方程式の解の公式と判別式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（84 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

受電端の相電圧を基準にとり、送電端電圧を「受電端電圧 + 線路インピーダンス × 線電流」のフェーザとして表しましょう。そのうえで、大きさが受電端と等しいという条件を立てます。

ヒント 2

三相合計の電力 $P$ , $Q^{'}$ と線間電圧 $V$ を使うと、 $V ˙_{s} = V + \frac{R P + X Q ^{'}}{V} + j \frac{X P - R Q ^{'}}{V}$ と書けます。 $∣ V ˙_{s} ∣ = V$ から $2 (R P + X Q^{'}) + \frac{( R ^{2} + X ^{2} ) ( P ^{2} + Q ^{'2} )}{V ^{2}} = 0$ が得られます。

ヒント 3

$x = Q^{'} / P$ とおき、 $P / V^{2} = 1/29$ を使うと $5 x^{2} + 87 x + 34 = 0$ になります。この 2 次方程式を解き、 $Q_{C} = Q - x P$ （ $Q = 870 kvar$ ）から小さいほうを選びます。

答えと解説

答えを見る

1334

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. 送電端電圧の厳密な式

1 相分の等価回路で考える。受電端の相電圧を基準フェーザとし、その大きさを $V_{p} = V / 3$ とする。受電端から負荷とコンデンサの側に流れ込む三相合計の有効電力を $P$ 、遅れ無効電力を $Q^{'}$ とする。線電流のフェーザは
$I ˙ = \frac{P /3 - j Q ^{'} /3}{V _{p}}$
である。送電端の相電圧は $V ˙_{s p} = V_{p} + (R + j X) I ˙$ となる。両辺に $3$ を掛けて線間電圧の大きさにそろえ、 $3 \cdot \frac{1}{3 V _{p}} = \frac{1}{V}$ を使うと、
$V ˙_{s} = V + \frac{R P + X Q ^{'}}{V} + j \frac{X P - R Q ^{'}}{V}$
となる。

2. 電圧降下 0 の条件

$∣ V ˙_{s} ∣ = V$ とおく。 $A = \frac{R P + X Q ^{'}}{V}$ 、 $B = \frac{X P - R Q ^{'}}{V}$ とすると、
$(V + A)^{2} + B^{2} = V^{2} ⟺ 2 V A + A^{2} + B^{2} = 0$
である。ここで
$A^{2} + B^{2} = \frac{( R ^{2} + X ^{2} ) ( P ^{2} + Q ^{'2} )}{V ^{2}}$
が成り立つ（ $∣ R + j X ∣^{2} ∣ P - j Q^{'} ∣^{2} / V^{2}$ に等しい）。したがって条件は
$2 (R P + X Q^{'}) + \frac{( R ^{2} + X ^{2} ) ( P ^{2} + Q ^{'2} )}{V ^{2}} = 0$
となる。

3. 数値の代入

$x = Q^{'} / P$ とおき、両辺を $P$ で割ると
$2 (R + X x) + (R^{2} + X^{2}) \frac{P}{V ^{2}} (1 + x^{2}) = 0$
となる。

各値は $R = 1.0$ 、 $X = 3.0$ 、 $R^{2} + X^{2} = 10$ である。また
$\frac{P}{V ^{2}} = \frac{1.16 \times 1 0 ^{6}}{33.64 \times 1 0 ^{6}} = \frac{1}{29}$
である。これらを代入すると
$2 (1 + 3 x) + \frac{10}{29} (1 + x^{2}) = 0$
となる。両辺に $29$ を掛けて整理する。
$10 x^{2} + 174 x + 68 = 0 ⟺ 5 x^{2} + 87 x + 34 = 0 ⟺ (5 x + 2) (x + 17) = 0$
よって $x = - \frac{2}{5}$ または $x = - 17$ である。

4. コンデンサ容量

負荷の遅れ無効電力は
$Q = P tan θ = 1160 \times \frac{0.6}{0.8} = 870 kvar$
である。コンデンサを接続した後の正味の遅れ無効電力は $Q^{'} = Q - Q_{C}$ だから、 $Q_{C} = Q - Q^{'} = Q - x P$ となる。

$x = - \frac{2}{5}$ のとき: $Q^{'} = - 464 kvar$ 、 $Q_{C} = 870 + 464 = 1334 kvar$
$x = - 17$ のとき: $Q_{C} = 870 + 19720 = 20590 kvar$

小さいほうは $Q_{C} = 1334 kvar$ である。

5. 検算

$Q^{'} = - 464 kvar$ のとき、
$A = \frac{1160 \times 1 0 ^{3} - 3 \times 464 \times 1 0 ^{3}}{5800} = - 40 V, B = \frac{3 \times 1160 \times 1 0 ^{3} + 464 \times 1 0 ^{3}}{5800} = 680 V$
である。したがって
$∣ V ˙_{s} ∣^{2} = 576 0^{2} + 68 0^{2} = 33640000 = 580 0^{2}$
となり、条件を満たしている。

このときの線路損失は $P \cdot \frac{R ( P ^{2} + Q ^{'2} )}{P V ^{2}} = \frac{1}{29} \cdot \frac{29}{25} P = 0.04 P \approx 46.4 kW$ で、現実的な大きさである。

答え: $1334$

別解

受電端の相電圧を $V_{r} = V / 3$ とし、これを基準位相にとる。負荷とコンデンサの合成で、受電端の三相の有効電力は $P$ 、無効電力は $Q = Q_{L} - Q_{C}$ になる。

負荷の無効電力は $Q_{L} = P tan φ = 1160 \times 0.75 = 870 kvar$ である。

1 相あたりの線電流は $I = (P - j Q) / (3 V_{r})$ である。したがって送電端の相電圧は
$V_{s} = V_{r} + (R + j X) I = V_{r} + \frac{( R P + X Q ) + j ( X P - R Q )}{3 V _{r}}$
となる。

$∣ V_{s} ∣ = V_{r}$ とおいて両辺を 2 乗すると、
$2 V_{r} a + a^{2} + b^{2} = 0$ ただし $a = \frac{R P + X Q}{3 V _{r}}, b = \frac{X P - R Q}{3 V _{r}}$

$3 V_{r}^{2} = V^{2}$ を使って整理すると、
$2 (R P + X Q) V^{2} + (R^{2} + X^{2}) (P^{2} + Q^{2}) = 0$

単位を MW、Mvar、Ω にそろえる。 $V^{2} = 33.64$ 、 $R^{2} + X^{2} = 10$ 、 $P = 1.16$ を代入する。
$2 (1.16 + 3 Q) (33.64) + 10 (1.1 6^{2} + Q^{2}) = 0$
$10 Q^{2} + 201.84 Q + 91.5008 = 0$
$Q^{2} + 20.184 Q + 9.15008 = 0$

判別式の平方根は $20.18 4^{2} - 4 \times 9.15008 = 370.793536 = 19.256$ （ちょうど）である。したがって
$Q = \frac{- 20.184 \pm 19.256}{2} = - 0.464, - 19.72 Mvar$

$Q_{C} = Q_{L} - Q$ より、 $Q_{C} = 870 + 464 = 1334 kvar$ または $870 + 19720 = 20590 kvar$ となる。小さいほうは $1334 kvar$ である。

検算として $Q = - 0.464$ を元の式に代入する。
$R P + X Q = 1.16 - 1.392 = - 0.232$
$2 (- 0.232) (33.64) = - 15.609$
$10 (1.3456 + 0.215296) = 15.609$
和は 0 になり、条件を満たす。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる