送電線の電圧降下

まず使う言葉と道具を決めます。家庭や送電線の交流は、電圧・電流が一定の周期で正弦波（なめらかな波）として変わります。「$200\mathrm{V}$」のような交流の値はふつう実効値で、同じ抵抗で同じだけ熱を出す直流の値のことです（正弦波では最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍）。同じ周波数の波どうしは、「大きさ（実効値）」と、波の山がどれだけ早く来るかを角度で表した「位相」だけで区別できます（1 周期を $360^{\circ }$ とする）。そこで電圧・電流を、長さが実効値、向きが位相の矢印で表し、これをフェーザと呼んで $\dot{V},\dot{I}$ と書きます。矢印は平面上の点 $(a,b)$ の位置を指すので、$j^2=-1$ となる数 $j$（虚数単位。電流の記号 $i$ と区別して $j$ と書く）を使って $a+jb$ と書きます（$a$ を実部、$b$ を虚部という）。足し算は実部どうし・虚部どうしを足し、掛け算は分配法則で展開して $j^2=-1$ に置き換えます（例: $(0.2+j0.4)(50-j37.5)=10-j7.5+j20-j^{2}15=25+j12.5$）。矢印の長さ（大きさ）は三平方の定理で $|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2}$ です。$j(a+jb)=-b+ja$ となることから、$j$ を掛けると矢印が長さを変えずに $90^{\circ }$ 回る（位相が $90^{\circ }$ 進む）こともわかります。また、角 $\phi$ をもつ直角三角形で、斜辺に対する隣の辺の比を $\cos \phi$、向かいの辺の比を $\sin \phi$、隣の辺に対する向かいの辺の比を $\tan \phi =\frac{\sin \phi }{\cos \phi }$ とし、${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$ が成り立ちます（例: 3 辺が $3:4:5$ なら $\cos \phi =0.8,\sin \phi =0.6$）。長さ $I$、向き $-\phi$ の矢印は $I(\cos \phi -j\sin \phi )$ と書けます。

抵抗では電圧が電流と同じ位相なので、抵抗の電圧は $R\dot{I}$ です。コイルでは、電流が変化するとその変化を妨げる向きに電圧が生じるので、電圧は電流が最も速く変化する瞬間（電流が $0$ を通る瞬間）に最大になり、電圧の山は電流の山より $\frac{1}{4}$ 周期（$90^{\circ }$）早く来ます。そこで、電流に対する電圧の大きさの比をリアクタンス $X$（単位 $\Omega$）と定めると、コイルの電圧は「電流の $X$ 倍の長さで $90^{\circ }$ 進んだ矢印」、つまり $jX\dot{I}$ と書けます。線路は抵抗とコイルの直列とみなせ、直列回路では各部分の電圧の和が全体の電圧になる（キルヒホッフの電圧則。交流では各瞬間に成り立つので矢印どうしの和になる）ので、${\dot{V}}_s={\dot{V}}_r+(R+jX)\dot{I}$ が成り立ちます。足すのは矢印どうしであり、大きさを単純に足すのではない点が大切です。負荷では、モーターのようにコイルを含む負荷だと電流の位相が電圧より $\phi$ だけ遅れます。これを「遅れ」、$\cos \phi$ を力率といいます。電力のうち実際に消費される平均の電力を有効電力 $P=VI\cos \phi$（単位 W）、負荷と電源の間を行き来するだけの分を表す量を無効電力 $Q=VI\sin \phi$（単位 var、遅れを正）と定めます。

受電端電圧 ${\dot{V}}_r$ を向きの基準（実数 $V$）にとると、遅れ電流は $\dot{I}=I(\cos \phi -j\sin \phi )=\frac{P-jQ}{V}$ です。これを代入して展開すると
$${\dot{V}}_s=V+\frac{PR+QX}{V}+j\frac{PX-QR}{V}$$
となります。実際の送電線では虚部（${\dot{V}}_r$ と直角の成分）$b$ は $V$ に比べて小さく、$\sqrt{(V+a{)}^2+b^2}$ は $V+a$ よりおよそ $\frac{b^2}{2V}$ しか大きくならないので、${\dot{V}}_s$ の大きさはほぼ実部で決まります。そのため電圧降下 $\Delta V=|{\dot{V}}_s|-|{\dot{V}}_r|$ は $\Delta V\approx \frac{PR+QX}{V}=I(R\cos \phi +X\sin \phi )$ と近似できます。三相の場合は $R,X$ を 1 相分、$P,Q$ を三相合計、$V$ を線間電圧にとれば、同じ式で線間電圧の降下が得られます。この式から、遅れ無効電力 $Q$ が $X$ を通して大きな電圧降下を生むことがわかります。負荷と並列にコンデンサー（電圧より電流が $90^{\circ }$ 進み、進み無効電力 $Q_C$ を受け持つ）を入れると、線路を流れる無効電力は $Q-Q_C$ に減ります。近似式で $\Delta V\approx 0$ とすれば $PR+(Q-Q_C)X=0$、すなわち $Q_C=Q+\frac{PR}{X}$ で送電端と受電端の電圧の大きさがほぼ等しくなります。厳密に等しくしたいときは、$|{\dot{V}}_s{|}^2=V^2$ を $Q_C$ について解きます。