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電力・電気機器の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電力・電気機器

線間電圧の大きさが $2003 V$ の対称三相交流電源（周波数一定、相順は a→b→c、すなわち線間電圧 $V ˙_{ab}$ は $V ˙_{b c}$ より位相が $\frac{2 π}{3}$ 進む）の 3 本の線 a, b, c に、中性線のない Y 結線の不平衡負荷をつなぐ。負荷の中性点を N′ とし、a と N′ の間にはコンデンサ（リアクタンスの大きさ $\frac{1}{ω C} = 100 Ω$ ）、b と N′ の間と c と N′ の間にはそれぞれ抵抗 $R = 100 Ω$ をつなぐ。電源の内部インピーダンスと線路のインピーダンスは無視し、コンデンサは理想的（損失なし）とする。

b–N′ 間の抵抗で消費される電力 $P_{b} [W]$ と、c–N′ 間の抵抗で消費される電力 $P_{c} [W]$ を、この順に組 $(P_{b}, P_{c})$ で求めよ。値は根号を用いた正確な値で答えよ。

この問題で使うもの

三相交流の Y 結線と Δ 結線（説明と入口の問題）
複素数と 2 次方程式の虚数解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（77 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

中性線がないので負荷の中性点 N′ の電位は電源の中性点からずれる。電源を Y 結線の等価電源で表し、ミルマンの定理で N′ の電圧を求めよう。

ヒント 2

$V ˙_{N^{'}} = \frac{\sum Y ˙ _{k} E ˙ _{k}}{\sum Y ˙ _{k}}$ で、 $Y ˙_{a} = j / R$ 、 $Y ˙_{b} = Y ˙_{c} = 1/ R$ 、 $E ˙_{b} + E ˙_{c} = - E ˙_{a}$ を使うと計算が簡単になる。

ヒント 3

$V ˙_{N^{'}} = E \frac{- 1 + 3 j}{5}$ （ $E = 200 V$ ）となる。 $E ˙_{b} - V ˙_{N^{'}}$ と $E ˙_{c} - V ˙_{N^{'}}$ の大きさを計算し、 $∣ V ∣^{2} / R$ で電力を求める。

答えと解説

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(480 + 2403, 480 - 2403)

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解説を読む

電源の相電圧 負荷には線間電圧だけが関係するので、電源を Y 結線の等価電源（中性点 N）で表してよい。相電圧の大きさは $E = \frac{200 3}{3} = 200 V$ である。 $α = e^{j 2 π /3} = - \frac{1}{2} + j \frac{3}{2}$ とおき、相順 a→b→c より
$E ˙_{a} = E, E ˙_{b} = α^{2} E = E (- \frac{1}{2} - j \frac{3}{2}), E ˙_{c} = α E = E (- \frac{1}{2} + j \frac{3}{2})$
とする（ $1 + α + α^{2} = 0$ ）。

中性点の電位（ミルマンの定理） 各相のアドミタンスは $Y ˙_{a} = j ω C = \frac{j}{R}$ 、 $Y ˙_{b} = Y ˙_{c} = \frac{1}{R}$ である（ $1/ (ω C) = R$ ）。中性線がないので N′ に流れ込む電流の和は $0$ であり（キルヒホッフの電流則）、N に対する N′ の電圧は
$V ˙_{N^{'}} = \frac{Y ˙ _{a} E ˙ _{a} + Y ˙ _{b} E ˙ _{b} + Y ˙ _{c} E ˙ _{c}}{Y ˙ _{a} + Y ˙ _{b} + Y ˙ _{c}} = E \frac{j + α ^{2} + α}{2 + j} = E \frac{- 1 + j}{2 + j} .$
$\frac{- 1 + j}{2 + j} = \frac{( - 1 + j ) ( 2 - j )}{( 2 + j ) ( 2 - j )} = \frac{- 2 + j + 2 j + 1}{5} = \frac{- 1 + 3 j}{5}$
より $V ˙_{N^{'}} = E (- \frac{1}{5} + j \frac{3}{5})$ 。

各抵抗の電圧
$V ˙_{b N^{'}} = E ˙_{b} - V ˙_{N^{'}} = E (- \frac{3}{10} - j (\frac{3}{2} + \frac{3}{5})),$
$V ˙_{c N^{'}} = E ˙_{c} - V ˙_{N^{'}} = E (- \frac{3}{10} + j (\frac{3}{2} - \frac{3}{5})) .$
大きさの 2 乗は
$∣ V ˙_{b N^{'}} ∣^{2} = E^{2} (\frac{9}{100} + \frac{3}{4} + \frac{3 3}{5} + \frac{9}{25}) = E^{2} (\frac{6}{5} + \frac{3 3}{5}),$
$∣ V ˙_{c N^{'}} ∣^{2} = E^{2} (\frac{9}{100} + \frac{3}{4} - \frac{3 3}{5} + \frac{9}{25}) = E^{2} (\frac{6}{5} - \frac{3 3}{5}) .$

消費電力 抵抗の消費電力は $∣ V ∣^{2} / R$ で、 $E^{2} / R = 20 0^{2} /100 = 400 W$ なので
$P_{b} = 400 (\frac{6}{5} + \frac{3 3}{5}) = 480 + 2403 W (\approx 896 W),$
$P_{c} = 400 (\frac{6}{5} - \frac{3 3}{5}) = 480 - 2403 W (\approx 64 W) .$
（ $P_{b} / P_{c} = (2 + 3)^{2}$ であり、コンデンサの次の相の抵抗のほうが大きな電力を消費する。これは相順検定器の原理である。）

したがって $(P_{b}, P_{c}) = (480 + 2403, 480 - 2403)$ である。

別解

相電圧の大きさは $2003 / 3 = 200$ V。 $V ˙_{ab}$ が $V ˙_{b c}$ より $2 π /3$ 進む相順（正相 a→b→c）なので、 $V ˙_{a} = 200$ 、 $V ˙_{b} = 200 e^{- j 2 π /3}$ 、 $V ˙_{c} = 200 e^{j 2 π /3}$ とおける（確認: $V ˙_{ab} = V ˙_{a} - V ˙_{b} = 2003 e^{j π /6}$ 、 $V ˙_{b c} = 2003 e^{- j π /2}$ で、 $V ˙_{ab}$ が $2 π /3$ 進む）。
アドミタンス（単位 $0.01 S$ ）は $Y_{a} = j ω C = j$ 、 $Y_{b} = Y_{c} = 1$ 。
中性点間電圧（ミルマンの定理）: $V ˙_{N^{'}} = \frac{Y _{a} V ˙ _{a} + Y _{b} V ˙ _{b} + Y _{c} V ˙ _{c}}{Y _{a} + Y _{b} + Y _{c}}$ 。 $V ˙_{a} = 200$ を基準に $a = e^{j 2 π /3}$ として、 $V ˙_{b} + V ˙_{c} = - 200$ より
$V ˙_{N^{'}} = 200 \cdot \frac{j - 1}{2 + j} = 200 \cdot \frac{( - 1 + j ) ( 2 - j )}{5} = 200 \cdot \frac{- 1 + 3 j}{5} = 200 (- 0.2 + 0.6 j)$ 。
b–N′ 間の電圧: $V ˙_{b} - V ˙_{N^{'}} = 200 [(- 0.5 + 0.2) + j (- \frac{3}{2} - 0.6)] = 200 [- 0.3 - j (\frac{3}{2} + 0.6)]$ 。
大きさの 2 乗: $20 0^{2} [0.09 + \frac{3}{4} + 0.6 3 + 0.36] = 20 0^{2} (1.2 + 0.6 3)$ 。
c–N′ 間の電圧: $200 [- 0.3 + j (\frac{3}{2} - 0.6)]$ 、大きさの 2 乗は $20 0^{2} (1.2 - 0.6 3)$ 。
電力 $P = ∣ V ∣^{2} / R$ より
$P_{b} = \frac{40000}{100} (1.2 + 0.6 3) = 480 + 2403 \approx 895.7$ W。
$P_{c} = 400 (1.2 - 0.6 3) = 480 - 2403 \approx 64.3$ W。
検算: キルヒホッフの電流則 $I ˙_{a} + I ˙_{b} + I ˙_{c} = 0$ は中性点電圧をミルマンの定理で求めたので成立。全電力 $P_{b} + P_{c} = 960$ W。電源の全有効電力は、コンデンサが無損失なので抵抗の消費電力の和と一致する。別法として $I ˙_{a} = j 0.01 (200 - V ˙_{N^{'}})$ の有効成分を調べても、 $Re \sum V ˙_{k} I ˙_{k}^{*} = 960$ となり整合する。

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