図形と計量の問題

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を用いると、左辺は
$$2{\cos }^2\theta -(1-{\cos }^2\theta )-2a\cos \theta +a+2=3{\cos }^2\theta -2a\cos \theta +a+1$$
となる。$t=\cos \theta$ とおくと、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ のとき $t$ は $-1\leqq t\leqq 1$ のすべての値をとる。よって、条件は
$$f(t)=3t^2-2at+a+1$$
について「$-1\leqq t\leqq 1$ のすべての $t$ で $f(t)>0$」すなわち「$-1\leqq t\leqq 1$ における $f(t)$ の最小値が正」となることである。

$$f(t)=3{\left(t-\frac{a}{3}\right)}^2-\frac{a^2}{3}+a+1$$
より、軸は $t=\frac{a}{3}$ である。

(1) $\frac{a}{3}<-1$ すなわち $a<-3$ のとき

最小値は $f(-1)=3+2a+a+1=3a+4$。$3a+4>0$ より $a>-\frac{4}{3}$ となるが、$a<-3$ と合わせると満たす $a$ はない。

(2) $-1\leqq \frac{a}{3}\leqq 1$ すなわち $-3\leqq a\leqq 3$ のとき

最小値は $f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{a^2}{3}+a+1$。これが正となる条件は
$$a^2-3a-3<0⟺\frac{3-\sqrt{21}}{2}<a<\frac{3+\sqrt{21}}{2}$$
$4<\sqrt{21}<5$ より $-1<\frac{3-\sqrt{21}}{2}<-\frac{1}{2}$, $\frac{7}{2}<\frac{3+\sqrt{21}}{2}<4$ なので、$-3\leqq a\leqq 3$ と合わせて
$$\frac{3-\sqrt{21}}{2}<a\leqq 3$$

(3) $\frac{a}{3}>1$ すなわち $a>3$ のとき

最小値は $f(1)=3-2a+a+1=4-a$。$4-a>0$ より $a<4$。$a>3$ と合わせて $3<a<4$。

(1)〜(3) をまとめると、求める範囲は
$$\frac{3-\sqrt{21}}{2}<a<4$$

$x=\cos \theta$ とおくと、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $-1\leqq x\leqq 1$。${\sin }^2\theta =1-x^2$ より与式は $2x^2-(1-x^2)-2ax+a+2=3x^2-2ax+a+1>0$。$f(x)=3x^2-2ax+a+1=3{\left(x-\frac{a}{3}\right)}^2-\frac{a^2}{3}+a+1$ とし、$-1\leqq x\leqq 1$ で $f(x)>0$ となる条件を考える。
(i) $\frac{a}{3}<-1$ すなわち $a<-3$: 最小値は $f(-1)=3a+4>0$ より $a>-\frac{4}{3}$ となり $a<-3$ と矛盾。
(ii) $-1\leqq \frac{a}{3}\leqq 1$ すなわち $-3\leqq a\leqq 3$: 最小値は $-\frac{a^2}{3}+a+1>0$ すなわち $a^2-3a-3<0$ より $\frac{3-\sqrt{21}}{2}<a<\frac{3+\sqrt{21}}{2}$。$\frac{3-\sqrt{21}}{2}\approx -0.79$, $\frac{3+\sqrt{21}}{2}\approx 3.79$ なので $\frac{3-\sqrt{21}}{2}<a\leqq 3$。
(iii) $\frac{a}{3}>1$ すなわち $a>3$: 最小値は $f(1)=4-a>0$ より $a<4$。よって $3<a<4$。
(ii)(iii) を合わせて $\frac{3-\sqrt{21}}{2}<a<4$。検算: $a=0$ のとき $3x^2+1>0$ で成立。$a=-0.79$ 付近の境界では $f$ の最小値がほぼ 0、$a=4$ では $f(1)=0$ となり等号で不成立、$a=3.9$ では $f(1)=0.1>0$ で成立。