図形と計量の問題

$\sin \theta$ だけの不等式にする ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を代入すると
$$2(1-{\sin }^2\theta )+5\sin \theta -4\geqq 0$$
$$-2{\sin }^2\theta +5\sin \theta -2\geqq 0$$
$$2{\sin }^2\theta -5\sin \theta +2\leqq 0$$
$$(2\sin \theta -1)(\sin \theta -2)\leqq 0.$$
$\sin \theta \leqq 1$ より $\sin \theta -2<0$ なので，これは $2\sin \theta -1\geqq 0$，すなわち
$$\sin \theta \geqq \frac{1}{2}$$
と同値である。

$\theta$ の範囲 $0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ で $\sin \theta \geqq \frac{1}{2}$ となるのは $30^{\circ }\leqq \theta \leqq 150^{\circ }$。$\theta \ne 90^{\circ }$ と合わせて，
$30^{\circ }\leqq \theta <90^{\circ }$ または $90^{\circ }<\theta \leqq 150^{\circ }$
である。

$\tan \theta$ の範囲
- $30^{\circ }\leqq \theta <90^{\circ }$ のとき，$\tan \theta$ は $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$ から増加し，$90^{\circ }$ に近づくといくらでも大きくなるので $\tan \theta \geqq \frac{\sqrt{3}}{3}$。
- $90^{\circ }<\theta \leqq 150^{\circ }$ のとき，$\tan \theta$ は $90^{\circ }$ の近くではいくらでも小さい負の値をとり，$\theta =150^{\circ }$ で $\tan 150^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ となるまで増加するので $\tan \theta \leqq -\frac{\sqrt{3}}{3}$。

（単位円上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ と原点を結ぶ直線の傾きが $\tan \theta$ であることを使うと，傾きの範囲として確認できる。）

よって求める範囲は
$\tan \theta \leqq -\frac{\sqrt{3}}{3}$ または $\frac{\sqrt{3}}{3}\leqq \tan \theta$
である。

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ より、不等式は $2(1-{\sin }^2\theta )+5\sin \theta -4\geqq 0$、すなわち $-2{\sin }^2\theta +5\sin \theta -2\geqq 0$。両辺に $-1$ を掛けて $2{\sin }^2\theta -5\sin \theta +2\leqq 0$。$s=\sin \theta$ とおくと $(2s-1)(s-2)\leqq 0$ なので $\frac{1}{2}\leqq s\leqq 2$。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ では $0\leqq s\leqq 1$ なので $\frac{1}{2}\leqq \sin \theta \leqq 1$。これを満たす $\theta$ は $30^{\circ }\leqq \theta \leqq 150^{\circ }$。$\theta \ne 90^{\circ }$ より、$30^{\circ }\leqq \theta <90^{\circ }$ または $90^{\circ }<\theta \leqq 150^{\circ }$。

(i) $30^{\circ }\leqq \theta <90^{\circ }$ のとき、$\tan \theta$ は単調増加で $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$ から正の無限大まで動くので $\tan \theta \geqq \frac{\sqrt{3}}{3}$。

(ii) $90^{\circ }<\theta \leqq 150^{\circ }$ のとき、$\tan \theta$ は単調増加で負の無限大から $\tan 150^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ まで動くので $\tan \theta \leqq -\frac{\sqrt{3}}{3}$。

検算: $\theta =45^{\circ }$ で $2\cdot \frac{1}{2}+5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-4\approx 1+3.54-4=0.54\geqq 0$ で成立し、$\tan =1\geqq \frac{\sqrt{3}}{3}$。$\theta =30^{\circ }$ で $2\cdot \frac{3}{4}+\frac{5}{2}-4=0$ で境界成立。$\theta =20^{\circ }$ では $2\cdot 0.883+5\cdot 0.342-4\approx -0.52<0$ で不成立。よって $\tan \theta \leqq -\frac{\sqrt{3}}{3}$ または $\tan \theta \geqq \frac{\sqrt{3}}{3}$。