図形と計量の問題

方針：式には ${\sin }^2\theta$ と $\cos \theta$ が混ざっています。相互関係 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使って、$\cos \theta$ だけの式に直します。

手順1：$\cos \theta$ だけの式にする

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入すると
$$2(1-{\cos }^2\theta )+3\cos \theta -3=0$$
$$2-2{\cos }^2\theta +3\cos \theta -3=0$$
$$-2{\cos }^2\theta +3\cos \theta -1=0$$
両辺に $-1$ を掛けて
$$2{\cos }^2\theta -3\cos \theta +1=0$$

手順2：2次方程式として解く

$\cos \theta =t$ とおきます。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ なので、$t$ の範囲は $-1\leqq t\leqq 1$ です。方程式は
$$2t^2-3t+1=0$$
$$(2t-1)(t-1)=0$$
となるので、$t=\frac{1}{2},1$ です。どちらも $-1\leqq t\leqq 1$ を満たします。

手順3：$\theta$ を求める

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ の範囲で考えます。
- $\cos \theta =\frac{1}{2}$ のとき、$\theta =60^{\circ }$
- $\cos \theta =1$ のとき、$\theta =0^{\circ }$

よって、方程式を満たす $\theta$ は $\theta =0^{\circ },60^{\circ }$ です。

手順4：$\sin \theta$ の値を求める

• $\theta =0^{\circ }$ のとき、$\sin 0^{\circ }=0$
• $\theta =60^{\circ }$ のとき、$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

（確認）$\theta =60^{\circ }$ のとき、左辺は $2\cdot \frac{3}{4}+3\cdot \frac{1}{2}-3=0$ です。$\theta =0^{\circ }$ のとき、左辺は $0+3-3=0$ です。どちらも方程式を満たしています。

したがって、$\sin \theta$ のとりうる値は $0,\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入すると、$2(1-{\cos }^2\theta )+3\cos \theta -3=0$。整理して $2{\cos }^2\theta -3\cos \theta +1=0$、すなわち $(2\cos \theta -1)(\cos \theta -1)=0$。よって $\cos \theta =\frac{1}{2}$ または $\cos \theta =1$。
$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ では、$\cos \theta =\frac{1}{2}$ のとき $\theta =60^{\circ }$、$\cos \theta =1$ のとき $\theta =0^{\circ }$。
$\theta =60^{\circ }$ なら $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\theta =0^{\circ }$ なら $\sin \theta =0$。
検算：$\theta =60^{\circ }$ では $2\cdot \frac{3}{4}+3\cdot \frac{1}{2}-3=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-3=0$。$\theta =0^{\circ }$ では $0+3-3=0$。いずれも成り立つ。
したがって $\sin \theta$ のとりうる値は $0,\frac{\sqrt{3}}{2}$。