図形と計量の問題

方針 式に $\sin \theta$ と $\cos \theta$ が混ざっているので、相互関係 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使って $\cos \theta$ だけの式に直します。

手順1：$\cos \theta$ だけの式に直す

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入すると
$$2(1-{\cos }^2\theta )+3\cos \theta -3=0$$
$$2-2{\cos }^2\theta +3\cos \theta -3=0$$
$$-2{\cos }^2\theta +3\cos \theta -1=0$$
両辺に $-1$ を掛けて
$$2{\cos }^2\theta -3\cos \theta +1=0$$

手順2：$\cos \theta$ についての 2 次方程式を解く

$\cos \theta =t$ とおくと、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $-1\leqq t\leqq 1$ です。方程式は
$$2t^2-3t+1=0$$
左辺を因数分解して
$$(2t-1)(t-1)=0$$
よって $t=\frac{1}{2},1$ です。どちらも $-1\leqq t\leqq 1$ を満たします。

手順3：$\theta$ を求める

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ の範囲で、
- $\cos \theta =\frac{1}{2}$ となるのは $\theta =60^{\circ }$
- $\cos \theta =1$ となるのは $\theta =0^{\circ }$

したがって $\theta =0^{\circ },60^{\circ }$ です。

手順4：$\sin \theta$ の値を求める

$\sin 0^{\circ }=0$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

（確認：$\theta =60^{\circ }$ のとき $2\cdot \frac{3}{4}+3\cdot \frac{1}{2}-3=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-3=0$。$\theta =0^{\circ }$ のとき $0+3-3=0$。どちらも方程式を満たします。）

よって、$\sin \theta$ のとりうる値は $0,\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入すると、$2(1-{\cos }^2\theta )+3\cos \theta -3=0$。整理して $2{\cos }^2\theta -3\cos \theta +1=0$、すなわち $(2\cos \theta -1)(\cos \theta -1)=0$。よって $\cos \theta =\frac{1}{2}$ または $\cos \theta =1$。
$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ では、$\cos \theta =\frac{1}{2}$ のとき $\theta =60^{\circ }$、$\cos \theta =1$ のとき $\theta =0^{\circ }$。
$\theta =60^{\circ }$ のとき $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\theta =0^{\circ }$ のとき $\sin \theta =0$。
検算：$\theta =60^{\circ }$ では $2\cdot \frac{3}{4}+\frac{3}{2}-3=0$。$\theta =0^{\circ }$ では $0+3-3=0$。ともに成り立つ。
したがって $\sin \theta$ のとりうる値は $0,\frac{\sqrt{3}}{2}$。