図形と計量の問題

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を代入すると
$$2(1-{\sin }^2\theta )+\sin \theta -2=0$$
$$-2{\sin }^2\theta +\sin \theta =0$$
$$\sin \theta (2\sin \theta -1)=0$$
よって $\sin \theta =0$ または $\sin \theta =\frac{1}{2}$ である。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ では $0\leqq \sin \theta \leqq 1$ なので、どちらも条件を満たす。

(i) $\sin \theta =0$ のとき $\theta =0^{\circ },180^{\circ }$ である。$\tan 0^{\circ }=0$、$\tan 180^{\circ }=0$ より $\tan \theta =0$ である。

(ii) $\sin \theta =\frac{1}{2}$ のとき $\theta =30^{\circ },150^{\circ }$ である。
$$\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\tan 150^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

なお、$\theta =90^{\circ }$ は解に含まれないので、$\tan \theta$ はすべての解で定義される。

したがって、$\tan \theta$ の値は $0,\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}$ である。

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を代入すると $2-2{\sin }^2\theta +\sin \theta -2=0$、すなわち $\sin \theta (1-2\sin \theta )=0$。よって $\sin \theta =0$ または $\sin \theta =\frac{1}{2}$。

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ では、$\sin \theta =0$ のとき $\theta =0^{\circ },180^{\circ }$ で $\tan \theta =0$。
$\sin \theta =\frac{1}{2}$ のとき $\theta =30^{\circ },150^{\circ }$。$\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\tan 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

検算: $\theta =30^{\circ }$ で $2\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}-2=0$ となり成立。$\theta =0^{\circ }$ で $2+0-2=0$ となり成立。$\theta =150^{\circ }$ でも ${\cos }^2\theta =\frac{3}{4}$ なので成立。$\theta =180^{\circ }$ で $2+0-2=0$ となり成立。$\theta =90^{\circ }$ は $\sin \theta =1$ で $2\cdot 0+1-2\ne 0$ なので解ではなく、$\tan \theta$ は定義できる。

よって $\tan \theta$ のとりうる値は $0,\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}$。