図形と計量の問題

方針：相互関係 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使い、方程式を $\cos \theta$ だけの式に直します。

手順1（$\cos \theta$ だけの式に直す）
${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入すると
$$2(1-{\cos }^2\theta )+3\cos \theta -3=0$$
$$-2{\cos }^2\theta +3\cos \theta -1=0$$
両辺に $-1$ を掛けて
$$2{\cos }^2\theta -3\cos \theta +1=0$$

手順2（$\cos \theta$ の2次方程式として解く）
$\cos \theta =t$ とおくと、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $-1\leqq t\leqq 1$ です。
$$2t^2-3t+1=0$$
$$(2t-1)(t-1)=0$$
よって $t=\frac{1}{2},1$ です。どちらも $-1\leqq t\leqq 1$ を満たします。

手順3（$\theta$ を求める）
- $\cos \theta =\frac{1}{2}$ のとき、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $\theta =60^{\circ }$
- $\cos \theta =1$ のとき、$\theta =0^{\circ }$

手順4（$\sin \theta$ の値を求める）
$\theta =60^{\circ }$ のとき $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\theta =0^{\circ }$ のとき $\sin \theta =0$ です。

（確認：$\theta =60^{\circ }$ のとき $2\cdot \frac{3}{4}+3\cdot \frac{1}{2}-3=0$、$\theta =0^{\circ }$ のとき $0+3-3=0$ で、どちらも方程式を満たします。）

したがって、$\sin \theta$ のとりうる値は $0,\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入すると $2-2{\cos }^2\theta +3\cos \theta -3=0$ となり、整理して $2{\cos }^2\theta -3\cos \theta +1=0$、すなわち $(2\cos \theta -1)(\cos \theta -1)=0$。よって $\cos \theta =\frac{1}{2}$ または $\cos \theta =1$。

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ では、$\cos \theta =\frac{1}{2}$ のとき $\theta =60^{\circ }$ で $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$。$\cos \theta =1$ のとき $\theta =0^{\circ }$ で $\sin \theta =0$。

検算：$\theta =60^{\circ }$ では $2\cdot \frac{3}{4}+\frac{3}{2}-3=0$。$\theta =0^{\circ }$ では $0+3-3=0$。どちらも成り立つ。

したがって $\sin \theta$ のとりうる値は $0,\frac{\sqrt{3}}{2}$。