等加速度直線運動の公式

$v = v_{0} + a t$ 、 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ のうち適切な式を選んで、速度・変位・時間・加速度のうち未知のものを求められる（向きが途中で反転する場合も含む）

前提

v-t グラフと移動距離（高校物理運動の表し方）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

説明

一直線上を一定の加速度で動く物体について、初速度 $v_{0}$ 、加速度 $a$ 、時間 $t$ 、速度 $v$ 、変位 $x$ の 5 つの量を結びつける 3 本の式を使い分けられるようになります。たとえば、ブレーキをかけた車が止まるまでの距離や、斜面を上って戻ってくる物体の位置などを求める場面で使います。どの式も、物体の向きが途中で反転する場合もそのまま使えます。

なぜそうしてよいのか

加速度が一定の運動では、v-t グラフは傾き $a$ の直線になります。時刻 $0$ の速度を $v_{0}$ とすると、傾きが $a$ なので $t$ 秒後の速度は $v = v_{0} + a t$ です。変位は v-t グラフと $t$ 軸で囲まれた部分の面積（ $t$ 軸より下の部分は負として数える）です。 $0$ から $t$ までの部分は、上底 $v_{0}$ 、下底 $v_{0} + a t$ 、高さ $t$ の台形とみなせるので、 $x = \frac{v _{0} + ( v _{0} + a t )}{2} t = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ となります。グラフが途中で $t$ 軸と交わる（向きが反転する）場合も、 $t$ 軸より下の面積を負と数えれば同じ計算になるので、この式は反転があっても成り立ちます。

3 本目の式は、時間 $t$ を消去して得られます。 $a \neq = 0$ のとき、 $v = v_{0} + a t$ から $t = \frac{v - v _{0}}{a}$ です。これを台形の面積の形 $x = \frac{v _{0} + v}{2} t$ に代入すると、 $x = \frac{( v + v _{0} ) ( v - v _{0} )}{2 a}$ 、つまり $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ となります（ $a = 0$ のときは $v = v_{0}$ で両辺とも $0$ なので、やはり成り立ちます）。

つまり 3 本の式は、それぞれ 5 つの量のうち 1 つを含まない式です。 $v = v_{0} + a t$ には $x$ が、 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ には $v$ が、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ には $t$ がありません。問題に出てこない量（与えられず、求めもしない量）を含まない式を選べば、一回で答えにたどり着けます。

手順

正の向きを決める。ふつうは初速度の向きを正とし、速度・加速度・変位はすべてその向きを基準に符号をつける（逆向きなら負）。
$v_{0}, a, t, v, x$ のうち、わかっている量と求めたい量を書き出し、問題に関係しない量を 1 つ見つける。
関係しない量を含まない式を選ぶ。 $x$ が不要なら $v = v_{0} + a t$ 、 $v$ が不要なら $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 、 $t$ が不要なら $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ 。
符号つきの値を代入して解く。 $t$ について 2 次方程式になったら因数分解か解の公式で解き、 $t ≧ 0$ など問題の条件に合う解を選ぶ。 $v^{2}$ から $v$ を求めるときは $v = \pm$ の符号を向きから決める。
答えの符号を向きとして読み取る（正なら正の向き、負なら負の向き）。

例題

$x$ 軸上を運動する物体が、時刻 $0$ に原点を $x$ 軸の正の向きに速さ $5.0 m/s$ で通過した。物体には一定の加速度がはたらき、その大きさは $2.0 m/ s^{2}$ 、向きは $x$ 軸の負の向きである。時刻 $4.0 s$ における物体の位置 $x$ は何 m か。 $x$ 軸の正の向きを正とし、有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1： $x$ 軸の正の向きを正とする。初速度は $v_{0} = + 5.0 m/s$ 、加速度は負の向きなので $a = - 2.0 m/ s^{2}$ 。

手順2：わかっている量は $v_{0} = 5.0$ 、 $a = - 2.0$ 、 $t = 4.0$ 。求めたいのは $x$ （原点から出発したので変位がそのまま位置）。速度 $v$ は問題に関係しない。

手順3： $v$ を含まない式 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ を選ぶ。

手順4：代入すると
$x = 5.0 \times 4.0 + \frac{1}{2} \times (- 2.0) \times 4. 0^{2} = 20 - 16 = 4.0$
なお、 $v = v_{0} + a t$ から物体は $t = 2.5 s$ で止まり、その後は負の向きに戻っているが、v-t グラフの面積を符号つきで数えた式なので、反転があってもこの式で位置が正しく求まる。

手順5：答えは正なので、物体は原点から正の向きに $4.0 m$ の位置にある。よって $x = 4.0 m$ 。

答え: $4.0$

よくある誤り

減速しているのに加速度を $a = + 2.0 m/ s^{2}$ と正で代入してしまう誤り。正しくは、初速度の向きを正としたとき逆向きの加速度は負なので $a = - 2.0 m/ s^{2}$ と代入する（例題なら $x = 20 + 16 = 36$ ではなく $x = 20 - 16 = 4.0$ ）。
向きが反転する運動で、 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ で求めた値を「進んだ道のり」としてしまう誤り。正しくは、この式で求まるのは変位（位置の変化）である。例題で道のりを求めるなら、止まる時刻 $t = 2.5 s$ で区切り、 $0 \sim 2.5 s$ の $6.25 m$ と $2.5 \sim 4.0 s$ の $2.25 m$ を足して $8.5 m$ とする。
$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ から速度を求めるとき、 $v = + v_{0}^{2} + 2 a x$ だけを答えにしてしまう誤り。正しくは $v = \pm v_{0}^{2} + 2 a x$ で、物体がそのときどちら向きに動いているかで符号を決める（例：例題の物体が位置 $x = 4.0 m$ に戻ってきたときは $v^{2} = 25 - 16 = 9$ で、負の向きに動いているので $v = - 3.0 m/s$ ）。
変位を指定して時刻を求めるとき、2 次方程式の解を一方だけにしてしまう、または条件を確かめずに両方を答えてしまう誤り。例題の物体で $x = 4.0$ となる時刻は $4.0 = 5.0 t - t^{2}$ すなわち $t^{2} - 5.0 t + 4.0 = 0$ から $t = 1.0, 4.0 s$ の 2 つあり（行きと帰り）、問題が「はじめて」などと指定していればそれに合う方（ $t = 1.0 s$ ）を選ぶ。負の解が出たら $t ≧ 0$ に合わないので捨てる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

区間の条件からの等加速度運動の決定（高校物理運動の表し方）
自由落下と鉛直投げ上げ（高校物理運動の表し方）