運動の表し方の問題

A から C への向きを正とし、自動車が A を通過するときの速度を $v_{\mathrm{A}}$、加速度を $a$ とする。自動車は等加速度直線運動をするので、A を通過してから時間 $t$ の間に進む距離は $v_{\mathrm{A}}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ である。

A から B まで（$t=3.00\mathrm{s}$、距離 $24.0\mathrm{m}$）について
$$24.0=3.00v_{\mathrm{A}}+\frac{1}{2}a\times 3.00^2=3.00v_{\mathrm{A}}+4.50a(1)$$
A から C まで（$t=5.00\mathrm{s}$、距離 $48.0\mathrm{m}$）について
$$48.0=5.00v_{\mathrm{A}}+\frac{1}{2}a\times 5.00^2=5.00v_{\mathrm{A}}+12.5a(2)$$

$(1)$ より $v_{\mathrm{A}}=8.00-1.50a$。これを $(2)$ に代入すると
$$48.0=5.00(8.00-1.50a)+12.5a=40.0-7.50a+12.5a=40.0+5.00a$$
$$a=1.60m/{\mathrm{s}}^2$$
よって $v_{\mathrm{A}}=8.00-1.50\times 1.60=5.60m/s$ である。

C を通過するのは A を通過してから $5.00\mathrm{s}$ 後なので、そのときの速度は
$$v_{\mathrm{C}}=v_{\mathrm{A}}+a\times 5.00=5.60+1.60\times 5.00=13.6m/s$$

（確かめ）$v_{\mathrm{B}}=5.60+1.60\times 3.00=10.4m/s$。BC 間の平均の速さは $\frac{10.4+13.6}{2}=12.0m/s$ で、$12.0\times 2.00=24.0\mathrm{m}$ となり、条件に合う。

答えは $13.6m/s$ である。

等加速度直線運動では、ある区間の平均の速さは、その区間の中央の時刻の瞬間の速さに等しい。A を通過した時刻を $t=0$ とする。\n\nAB 間の平均の速さ: $24.0÷3.00=8.00$ (m/s)。これは $t=1.50$ s の速さ。\nBC 間の平均の速さ: $24.0÷2.00=12.0$ (m/s)。B を通過する時刻は $t=3.00$ s で、BC 間の中央の時刻は $t=4.00$ s なので、これは $t=4.00$ s の速さ。\n\n加速度の大きさは $a=\frac{12.0-8.00}{4.00-1.50}=\frac{4.00}{2.50}=1.60$ (m/s${}^2$)。\n\nC を通過する時刻は $t=3.00+2.00=5.00$ s。$t=4.00$ s の速さが $12.0$ m/s なので、C 通過時の速さは\n$v_C=12.0+1.60\times (5.00-4.00)=13.6$ (m/s)。\n\n確かめ: A での速さ $v_A=8.00-1.60\times 1.50=5.60$ m/s。AB 間の距離は $5.60\times 3.00+\frac{1}{2}\times 1.60\times 3.00^2=16.8+7.2=24.0$ m で一致する。B での速さは $5.60+1.60\times 3.00=10.4$ m/s で、BC 間の距離は $10.4\times 2.00+\frac{1}{2}\times 1.60\times 2.00^2=20.8+3.2=24.0$ m で一致する。C での速さは $10.4+1.60\times 2.00=13.6$ m/s。\n\n答え: $13.6$ m/s。