区間の条件からの等加速度運動の決定

2 つの区間の通過時間と距離（例: AB 間と BC 間の距離と所要時間）や、2 地点での速さと距離などの条件から、等加速度運動の式を連立して初速度・加速度を決め、別の地点での速さや通過時間を求められる

前提

等加速度直線運動の公式（高校物理運動の表し方）

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等加速度直線運動の公式（高校物理運動の表し方）

説明

物体が一直線上を等加速度で運動しているとき、「AB 間を何秒で通過したか」「2 地点での速さはいくらか」といった区間の情報から、初速度と加速度を決める技能です。初速度と加速度が決まれば運動は完全にわかるので、別の地点での速さや、そこまでの通過時間も求められます。列車や台車の運動を途中の測定値から読み解く場面で使います。

なぜそうしてよいのか

等加速度直線運動は、ある基準点での速度 $v_{0}$ と加速度 $a$ の 2 つがわかれば、 $v = v_{0} + a t$ 、 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ によっていつでもどこでも決まります。未知数が 2 つなので、独立な条件が 2 つあれば連立方程式で決められます。「AB 間を $t_{1}$ で、BC 間を $t_{2}$ で通過した」という情報は、A を基準（ $x = 0, t = 0$ ）にとれば「時刻 $t_{1}$ に位置 $x_{B}$ 」「時刻 $t_{1} + t_{2}$ に位置 $x_{C}$ 」という 2 つの条件になり、それぞれを $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ に入れれば $v_{0}$ と $a$ についての 1 次方程式が 2 本できます。

大切なのは、すべての式で同じ基準点の $v_{0}$ と同じ時刻の原点を使うことです。B から先の区間を式にするときに A での速度をそのまま初速度に使うと誤りになります。B を出発点にしたいなら、B での速度 $v_{B} = v_{0} + a t_{1}$ を初速度として使います。また、「2 地点での速さと、その間の距離」が条件なら、時間が現れない $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ を使えば 1 本の式が得られます。

手順

正の向きと基準点（ふつうは最初の地点 A、そこを $x = 0, t = 0$ ）を決め、未知数を A での速度 $v_{0}$ と加速度 $a$ の 2 つにおく。
与えられた条件を 1 つずつ、基準点からの位置・時刻を使って公式に入れる。通過時間なら $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 、2 地点の速さと距離なら $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ 。後の区間は A からの合計の距離・合計の時間で書く。
できた 2 本の式を連立して $v_{0}$ と $a$ を求める。
求めた $v_{0}, a$ を $v = v_{0} + a t$ や $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ に代入し、目的の地点での速さや時間を求める。

例題

一直線上を一定の加速度で運動する物体が、点 A、B、C をこの順に通過した。AB 間の距離は 12 m、BC 間の距離は 20 m で、AB 間を 2.0 s、BC 間を 2.0 s かけて通過した。物体の運動の向きは変わらないものとする。物体が C を通過するときの速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

【手順 1】運動の向きを正とし、A を $x = 0$ 、A を通過した時刻を $t = 0$ とする。A での速度を $v_{0}$ 〔m/s〕、加速度を $a$ 〔m/s²〕とおく。
【手順 2】B は時刻 $t = 2.0$ s に位置 $x = 12$ m にあるので
$12 = 2.0 v_{0} + \frac{1}{2} a (2.0)^{2} すなわち v_{0} + a = 6$
C は A からの合計で、時刻 $t = 2.0 + 2.0 = 4.0$ s に位置 $x = 12 + 20 = 32$ m にあるので
$32 = 4.0 v_{0} + \frac{1}{2} a (4.0)^{2} すなわち v_{0} + 2 a = 8$
【手順 3】2 式の差をとると $a = 2.0$ m/s²、これを代入して $v_{0} = 4.0$ m/s。
【手順 4】C を通過する時刻は $t = 4.0$ s だから
$v_{C} = v_{0} + a t = 4.0 + 2.0 \times 4.0 = 12 m/s$
（確認： $v_{C}^{2} - v_{0}^{2} = 144 - 16 = 128 = 2 \times 2.0 \times 32$ で、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ も満たす。）
よって C を通過するときの速さは 12 m/s。

答え: $12$

よくある誤り

BC 間の式にも A での速度を初速度として使い、 $20 = 2.0 v_{0} + \frac{1}{2} a (2.0)^{2}$ としてしまう誤り。正しくは、A を基準に $32 = 4.0 v_{0} + \frac{1}{2} a (4.0)^{2}$ とするか、B での速度 $v_{B} = v_{0} + 2.0 a$ を初速度にして $20 = 2.0 v_{B} + \frac{1}{2} a (2.0)^{2}$ とする。
A を基準にしたのに、C の時刻を BC 間の所要時間だけの $t = 2.0$ s や、位置を $x = 20$ m としてしまう誤り。正しくは合計の $t = 2.0 + 2.0 = 4.0$ s、 $x = 12 + 20 = 32$ m を使う。
「2 地点の速さ $v_{A}, v_{B}$ と距離 $L$ 」の条件で、 $v_{B} - v_{A} = 2 a L$ と 2 乗を落としてしまう誤り。正しくは $v_{B}^{2} - v_{A}^{2} = 2 a L$ 。
途中で運動の向きが反転する場合に、移動した道のりをそのまま $x$ に入れてしまう誤り。公式の $x$ は基準点からの変位なので、正の向きを決めて符号付きの位置（戻った分は差し引いた値）で式を立てる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

区間の条件からの等加速度運動の決定

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