v-t グラフと移動距離

v-t グラフの傾きから加速度を、グラフと $t$ 軸で囲まれた面積から変位を求められる。速度の符号が変わる時刻で区間を分け、面積の絶対値の和として道のりを求められる

前提

変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）

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算数中学高校大学大学院

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変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）

説明

速度 $v$ を縦軸、時刻 $t$ を横軸にとったグラフを v-t グラフといいます。このグラフの傾きを読めば加速度がわかり、グラフと $t$ 軸で囲まれた面積を求めれば、その時間の変位がわかります。さらに、速度の符号が変わる（物体が折り返す）時刻で区間を分けて面積の大きさを足せば、道のりも求められます。式を立てなくても、図形の面積計算だけで運動のようすをつかめるのが強みです。

なぜそうしてよいのか

傾きについて：v-t グラフ上の 2 点 $(t_{1}, v_{1})$ 、 $(t_{2}, v_{2})$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{v _{2} - v _{1}}{t _{2} - t _{1}} = \frac{Δ v}{Δ t}$ です。これは前提の技能で学んだ加速度 $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ そのものです。グラフが右上がりなら $a > 0$ 、右下がりなら $a < 0$ 、水平なら $a = 0$ です。

面積について：速度が一定値 $v$ のとき、時間 $Δ t$ の変位は $Δ x = v Δ t$ です。これは v-t グラフでは、高さ $v$ 、幅 $Δ t$ の長方形の面積にあたります。速度が変化するときも、時間をごく短い区間に細かく分ければ、各区間では速度がほぼ一定とみなせるので、各区間の変位は細い長方形の面積で表せます。それらを全部足すと、グラフと $t$ 軸で囲まれた部分の面積になります。つまり「面積＝変位」です。

ただし $v < 0$ の区間では $v Δ t < 0$ なので、 $t$ 軸より下の部分の面積は負の変位（負の向きへの移動）として数えます。変位は「上の面積 − 下の面積」です。一方、道のりは向きによらず実際に動いた長さなので、上の部分も下の部分も正の長さとして足し合わせます。そのためには、 $v = 0$ となる時刻（グラフが $t$ 軸と交わる時刻）で区間を分ける必要があります。

手順

グラフの各区間の端点の時刻と速度を読み取る（例： $t = 0$ で $v = v_{0}$ ）。
加速度が必要なら、直線部分の傾き $a = \frac{v _{2} - v _{1}}{t _{2} - t _{1}}$ を求める。
$v = 0$ となる時刻（グラフが $t$ 軸と交わる時刻）を求め、そこで区間を分ける。直線なら傾きを使って $0 = v_{1} + a (t - t_{1})$ から求められる。
各区間について、グラフと $t$ 軸で囲まれた図形（三角形・長方形・台形）の面積を計算する。
変位は「 $t$ 軸より上の面積 $-$ $t$ 軸より下の面積」、道のりは「各区間の面積の大きさの和」として求める。

例題

直線上を運動する物体があり、右向きを正とする。物体の速度 $v$ は、時刻 $t = 0$ で $6 m/s$ であり、そこから一定の割合で減少して、時刻 $t = 4 s$ で $- 2 m/s$ になった。すなわち v-t グラフは点 $(0, 6)$ と点 $(4, - 2)$ を結ぶ線分である。 $t = 0$ から $t = 4 s$ までに物体が進んだ道のりは何 m か。

例題の解答

【手順1】グラフの端点は $(0, 6)$ と $(4, - 2)$ である。
【手順2】傾きは $a = \frac{- 2 - 6}{4 - 0} = - 2 m/ s^{2}$ である。
【手順3】 $v = 0$ となる時刻 $t$ は、 $0 = 6 + (- 2) t$ より $t = 3 s$ 。よって $0 \leq t \leq 3$ （ $v \geq 0$ 、右向きに進む）と $3 \leq t \leq 4$ （ $v \leq 0$ 、左向きに戻る）に分ける。
【手順4】 $0 \leq t \leq 3$ の部分は $t$ 軸より上の三角形で、面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9 m$ 。 $3 \leq t \leq 4$ の部分は $t$ 軸より下の三角形で、面積の大きさは $\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 m$ 。
【手順5】道のりは面積の大きさの和で $9 + 1 = 10 m$ 。（参考：変位は $9 - 1 = 8 m$ で、道のりとは異なる。）
答え： $10 m$

答え: $10$

よくある誤り

道のりを求めるのに、区間を分けずに台形の公式で $\frac{6 + ( - 2 )}{2} \times 4 = 8 m$ としてしまう誤り。これは上下の面積を打ち消し合わせた変位である。正しくは $v = 0$ の時刻 $t = 3 s$ で分けて $9 + 1 = 10 m$ 。
変位を求めるのに、 $t$ 軸より下の面積も正として足してしまう誤り（例で変位を $9 + 1 = 10 m$ とする）。正しくは下の面積は負の変位なので $9 - 1 = 8 m$ 。
右下がりのグラフの傾きの符号を落として $a = + 2 m/ s^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{- 2 - 6}{4} = - 2 m/ s^{2}$ 。
グラフの縦軸の値（速度）を位置と読み違え、「 $t = 4 s$ で $- 2$ だから原点より左にいる」と考えてしまう誤り。v-t グラフの値は速度であり、位置の変化はグラフの面積（ここでは $+ 8 m$ ）で求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

等加速度直線運動の公式（高校物理運動の表し方）