運動の表し方の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理運動の表し方

まっすぐな線路の脇の点 P に、人が立って静止している。長さ $L$ の列車が、一定の加速度で速さを増しながら線路上を進み、点 P の前を通過した。列車の先頭が P を通過したときの列車の速さは $u$ 、列車の最後尾が P を通過したときの列車の速さは $w$ であった（ $0 < u < w$ ）。列車の先頭が P を通過してから、列車の中央（先頭から $\frac{L}{2}$ の位置）が P を通過するまでにかかる時間を、 $L$ , $u$ , $w$ を用いて表せ。ただし、列車は変形しない 1 つの物体とみなし、列車のどの部分も同じ速度・加速度で運動するものとする。 $L$ は正の定数とする。

P

列車進む向き

L

列車の先頭が P を通過する瞬間

この問題で使うもの

等加速度直線運動の公式（説明と入口の問題）
区間の条件からの等加速度運動の決定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

列車上の 1 点の運動に注目しよう。列車の中央が P を通過するのは、先頭の通過から列車が $\frac{L}{2}$ 進んだときである。

ヒント 2

$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ を、距離 $L$ の区間と距離 $\frac{L}{2}$ の区間に使うと、中央が P を通過するときの速さが求まる。

ヒント 3

中央が通過するときの速さは $\frac{u ^{2} + w ^{2}}{2}$ 。等加速度運動の平均の速さ $\frac{u + v _{M}}{2}$ を使って時間を求める。

答えと解説

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\frac{L}{u + \frac{u ^{2} + w ^{2}}{2}}

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解説を読む

列車は変形しないので、列車上の 1 点（たとえば先頭）に注目すると、P を基準にした「列車が進んだ距離」が P を通過する列車の部分を決める。列車の先頭が P を通過してから列車が距離 $s$ だけ進むと、先頭から $s$ の位置にある部分が P の前にくる。

列車の加速度を $a$ とする。列車は等加速度直線運動をするので、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ が使える。

先頭が P を通過してから最後尾が P を通過するまでに、列車は距離 $L$ 進むので
$w^{2} - u^{2} = 2 a L a = \frac{w ^{2} - u ^{2}}{2 L}$

中央が P を通過するとき、列車は先頭の通過から距離 $\frac{L}{2}$ 進んでいる。このときの速さを $v_{M}$ とすると
$v_{M}^{2} - u^{2} = 2 a \times \frac{L}{2} = \frac{w ^{2} - u ^{2}}{2}$
$v_{M}^{2} = \frac{u ^{2} + w ^{2}}{2} v_{M} = \frac{u ^{2} + w ^{2}}{2}$

等加速度直線運動では、ある区間の平均の速さは、はじめと終わりの速さの平均に等しい。先頭の通過から中央の通過までにかかる時間を $T$ とすると
$\frac{L}{2} = \frac{u + v _{M}}{2} \times T$
$T = \frac{L}{u + v _{M}} = \frac{L}{u + \frac{u ^{2} + w ^{2}}{2}}$

（確かめ） $u = w$ （等速）のとき $T = \frac{L}{2 u}$ となり、等速で $\frac{L}{2}$ 進む時間に一致する。

答えは $\frac{L}{u + \frac{u ^{2} + w ^{2}}{2}}$ である。

別解

列車の進む向きを正とし、加速度を $a$ とする。先頭が P を通過してから最後尾が通過するまでに、P に対して列車は距離 $L$ 進む（列車のどの部分も同じ運動をするので、最後尾が P に来るまでの P 基準の変位が $L$ ）。
$w^{2} - u^{2} = 2 a L$ より $a = \frac{w ^{2} - u ^{2}}{2 L}$ 。
中央が P を通過するのは、先頭が通過してから距離 $\frac{L}{2}$ 進んだときで、そのときの速さを $v$ とすると $v^{2} - u^{2} = 2 a \cdot \frac{L}{2} = a L = \frac{w ^{2} - u ^{2}}{2}$ 。
よって $v^{2} = \frac{u ^{2} + w ^{2}}{2}$ 、 $v = \frac{u ^{2} + w ^{2}}{2}$ 。
求める時間は $t = \frac{v - u}{a} = \frac{2 L ( \frac{u ^{2} + w ^{2}}{2} - u )}{w ^{2} - u ^{2}}$ 。
検算: $u = 1, w = 3, L = 4$ のとき $a = \frac{9 - 1}{8} = 1$ 、 $v = 5$ 、 $t = 5 - 1 \approx 1.236$ 。式に代入すると $\frac{8 ( 5 - 1 )}{8} = 5 - 1$ で一致する。さらに距離を確かめると $u t + \frac{1}{2} a t^{2} = 1.236 + 0.764 = 2.0 = \frac{L}{2}$ となる。

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