運動の表し方の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理運動の表し方

建物の壁に、上端と下端の高さの差が $h$ の縦長の窓がある。窓の上端より上の、ある点 O から小球を静かに放した（初速度 $0$ ）ところ、小球は窓のすぐ外側を鉛直に落下し、窓の上端の高さを通過してから下端の高さを通過するまでに時間 $τ$ かかった。点 O は窓の上端より何だけ高い位置にあるか。 $h$ , $τ$ , 重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗と小球の大きさは無視する。 $h$ , $τ$ , $g$ は正の定数で、 $h > \frac{1}{2} g τ^{2}$ を満たすものとする。

O

h

窓

図は正確とは限りません

この問題で使うもの

等加速度直線運動の公式（説明と入口の問題）
区間の条件からの等加速度運動の決定（説明と入口の問題）
自由落下と鉛直投げ上げ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

窓の上端を通過するときの小球の速さ $v_{1}$ を未知数にして、窓を通過する区間の運動の式を立てよう。

ヒント 2

窓の区間では $h = v_{1} τ + \frac{1}{2} g τ^{2}$ 。O から窓の上端までは初速度 $0$ の自由落下なので $v_{1}^{2} = 2 g H$ 。

ヒント 3

$v_{1} = \frac{2 h - g τ ^{2}}{2 τ}$ となる。これを $H = \frac{v _{1}^{2}}{2 g}$ に代入する。

答えと解説

答えを見る

\frac{( 2 h - g τ ^{2} ) ^{2}}{8 g τ ^{2}}

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解説を読む

空気抵抗を無視するので、小球は初速度 $0$ 、加速度の大きさ $g$ （鉛直下向き）の自由落下をする。鉛直下向きを正とする。

小球が窓の上端の高さを通過するときの速さを $v_{1}$ とする。上端から下端までの距離 $h$ を時間 $τ$ で落下するので、等加速度直線運動の式 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ より
$h = v_{1} τ + \frac{1}{2} g τ^{2}$
$v_{1} = \frac{h}{τ} - \frac{g τ}{2} = \frac{2 h - g τ ^{2}}{2 τ}$
条件 $h > \frac{1}{2} g τ^{2}$ より $v_{1} > 0$ で、これは点 O が窓の上端より上にあることと矛盾しない。

点 O から窓の上端までの距離を $H$ とすると、O では速さ $0$ なので、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ より
$v_{1}^{2} - 0 = 2 g H$
$H = \frac{v _{1}^{2}}{2 g} = \frac{1}{2 g} \cdot \frac{( 2 h - g τ ^{2} ) ^{2}}{4 τ ^{2}} = \frac{( 2 h - g τ ^{2} ) ^{2}}{8 g τ ^{2}}$

答えは $\frac{( 2 h - g τ ^{2} ) ^{2}}{8 g τ ^{2}}$ である。

別解

窓の上端を通過するときの小球の速さを $v$ （鉛直下向き）とする。上端から下端までの $τ$ の間の等加速度運動より $h = v τ + \frac{1}{2} g τ^{2}$ 。
よって $v = \frac{h - \frac{1}{2} g τ ^{2}}{τ} = \frac{2 h - g τ ^{2}}{2 τ}$ （ $h > \frac{1}{2} g τ^{2}$ より $v > 0$ ）。
点 O から静かに放したので、O から窓の上端までの高さを $H$ とすると $v^{2} = 2 g H$ 。
$H = \frac{v ^{2}}{2 g} = \frac{( 2 h - g τ ^{2} ) ^{2}}{4 τ ^{2} \cdot 2 g} = \frac{( 2 h - g τ ^{2} ) ^{2}}{8 g τ ^{2}}$ 。
検算: $g = 10, τ = 1, H = 5$ とすると $v = 100 = 10$ 、 $h = 10 \cdot 1 + 5 = 15$ 。式に代入すると $\frac{( 30 - 10 ) ^{2}}{80} = \frac{400}{80} = 5$ となり $H$ と一致する。

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