図形と計量の問題

根号の中を距離の 2 乗とみる

座標平面上で、点 $\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$ を考える。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ のとき、$\mathrm{P}$ は原点を中心とする半径 $1$ の半円（$y\geqq 0$ の部分）の上を動く。${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ を使って根号の中を書き直す。

両辺を $2$ で割った式
$$\sqrt{\frac{29}{4}-4\cos \theta -3\sin \theta }+\sqrt{\frac{5}{4}-\sin \theta }=\sqrt{5}(\ast )$$
を考える。$\mathrm{A}\left(2,\frac{3}{2}\right)$, $\mathrm{B}\left(0,\frac{1}{2}\right)$ とおくと
$${\mathrm{PA}}^2=(\cos \theta -2{)}^2+{\left(\sin \theta -\frac{3}{2}\right)}^2=1-4\cos \theta -3\sin \theta +4+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}-4\cos \theta -3\sin \theta$$
$${\mathrm{PB}}^2={\cos }^2\theta +{\left(\sin \theta -\frac{1}{2}\right)}^2=1-\sin \theta +\frac{1}{4}=\frac{5}{4}-\sin \theta$$
である。また
$$\mathrm{AB}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$$
なので、$(\ast )$ は
$$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=\mathrm{AB}$$
と言い換えられる。

三角形の辺の関係（三角不等式）

どんな点 $\mathrm{P}$ についても $\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\geqq \mathrm{AB}$ であり、等号が成り立つのは $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ 上にあるときに限る。よって、方程式の解は「線分 $\mathrm{AB}$ と半円の共有点」に対応する。

線分 AB と半円の共有点

線分 $\mathrm{AB}$ 上の点は、$0\leqq t\leqq 1$ として
$$\left(2t,\frac{1}{2}+t\right)$$
と表せる（$t=0$ で $\mathrm{B}$、$t=1$ で $\mathrm{A}$）。これが単位円上にある条件は
$$(2t{)}^2+{\left(\frac{1}{2}+t\right)}^2=1$$
$$5t^2+t+\frac{1}{4}=1$$
$$20t^2+4t-3=0$$
$$(10t-3)(2t+1)=0$$
より $t=\frac{3}{10},-\frac{1}{2}$。$0\leqq t\leqq 1$ を満たすのは $t=\frac{3}{10}$ だけで、そのときの点は
$$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$$
である。$y$ 座標が正なので半円上にある。

したがって $\cos \theta =\frac{3}{5}$, $\sin \theta =\frac{4}{5}$ となる $\theta$（$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ の範囲にただ 1 つある）が、方程式のただ 1 つの解である。

確かめ $\cos \theta =\frac{3}{5}$, $\sin \theta =\frac{4}{5}$ のとき
$$29-\frac{48}{5}-\frac{48}{5}=\frac{49}{5},5-\frac{16}{5}=\frac{9}{5}$$
より左辺は $\frac{7}{\sqrt{5}}+\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$ となり、右辺と等しい。

よって $\cos \theta =\frac{3}{5}$ である。

$X(2\cos \theta ,2\sin \theta )$, $P(4,3)$, $A(0,1)$ とおく。
$X{P}^2=(4-2\cos \theta {)}^2+(3-2\sin \theta {)}^2=29-16\cos \theta -12\sin \theta$、
$X{A}^2=4{\cos }^2\theta +(2\sin \theta -1{)}^2=5-4\sin \theta$。
よって方程式は $XP+XA=2\sqrt{5}$。一方 $PA=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$ なので、三角不等式の等号成立条件より、$X$ は線分 $PA$ 上にある。
線分 $PA$ は $y=1+\frac{x}{2}(0\leqq x\leqq 4)$。$X$ は原点中心半径 2 の円周上（$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $y\geqq 0$）にあるので $x^2+{\left(1+\frac{x}{2}\right)}^2=4$。
整理して $5x^2+4x-12=0$、$(5x-6)(x+2)=0$、$x=\frac{6}{5}$ または $x=-2$。$0\leqq x\leqq 4$ より $x=\frac{6}{5}$。このとき $y=\frac{8}{5}$ で $y\geqq 0$ も満たす。
よって $2\cos \theta =\frac{6}{5}$、$\cos \theta =\frac{3}{5}$、$\sin \theta =\frac{4}{5}$。
検算: $29-16\cdot \frac{3}{5}-12\cdot \frac{4}{5}=29-9.6-9.6=9.8$ ではなく、$29-9.6-9.6=9.8$ と計算せず確認し直すと、$X{P}^2=(4-1.2{)}^2+(3-1.6{)}^2=7.84+1.96=9.8$、$XP=\frac{7\sqrt{5}}{5}$。$X{A}^2=5-3.2=1.8$、$XA=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。和は $\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$ で一致する。