図形と計量の問題

辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とします。$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ なので $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$ です。

$$\mathrm{BM}=x,\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=y,\mathrm{AM}=h(x>0,y>0,h>0)$$

とおくと、三平方の定理より $x^2=y^2-h^2$ です。$R=\frac{25}{8}$, $r=\frac{3}{2}$ とします。

外接円の条件

直角三角形 $\mathrm{ABM}$ において $\sin B=\frac{h}{y}$ です。正弦定理 $\frac{\mathrm{AC}}{\sin B}=2R$ より
$$y=2R\cdot \frac{h}{y}\text{すなわち}{y}^2=2Rh=\frac{25}{4}h(1)$$
となります。

内接円の条件

面積を $S$ とすると $S=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot h=xh$ です。周の長さの半分は $\frac{2x+2y}{2}=x+y$ なので、$S=r(x+y)$ より
$$xh=\frac{3}{2}(x+y)\text{すなわち}\frac{3}{2}y=x\left(h-\frac{3}{2}\right)(2)$$
となります。左辺は正で $x>0$ なので $h>\frac{3}{2}$ です。

$h$ の方程式を立てる

$(1)$ と三平方の定理より
$$x^2=y^2-h^2=\frac{25}{4}h-h^2(3)$$
です。$x>0$ なので $h<\frac{25}{4}$ です。

$(2)$ の両辺は正なので、両辺を 2 乗して $(1)$, $(3)$ を代入すると
$$\frac{9}{4}\cdot \frac{25}{4}h=\left(\frac{25}{4}h-h^2\right){\left(h-\frac{3}{2}\right)}^2$$
となります。$h>0$ なので両辺を $h$ で割り、16 倍すると
$$225=(25-4h)(2h-3{)}^2$$
です。右辺を展開すると
$$(25-4h)(4h^2-12h+9)=-16h^3+148h^2-336h+225$$
なので
$$-16h^3+148h^2-336h=0$$
$$-4h(4h^2-37h+84)=0$$
です。$h>0$ より $4h^2-37h+84=0$ となり、
$$h=\frac{37\pm \sqrt{1369-1344}}{8}=\frac{37\pm 5}{8}$$
から $h=4,\frac{21}{4}$ を得ます。どちらも $\frac{3}{2}<h<\frac{25}{4}$ を満たします。

それぞれの場合の $\mathrm{BC}$

• $h=4$ のとき:$(3)$ より $x^2=25-16=9$ なので $x=3$ です。$(1)$ より $y^2=25$ なので $y=5$ です。$(2)$ は左辺 $\frac{15}{2}$、右辺 $3\cdot \frac{5}{2}=\frac{15}{2}$ で成り立ちます。よって $\mathrm{BC}=2x=6$ です。
• $h=\frac{21}{4}$ のとき:$(3)$ より $x^2=\frac{21}{4}\cdot \frac{4}{4}=\frac{21}{4}$ なので $x=\frac{\sqrt{21}}{2}$ です。$(1)$ より $y^2=\frac{525}{16}$ なので $y=\frac{5\sqrt{21}}{4}$ です。$(2)$ は左辺 $\frac{15\sqrt{21}}{8}$、右辺 $\frac{\sqrt{21}}{2}\cdot \frac{15}{4}=\frac{15\sqrt{21}}{8}$ で成り立ちます。よって $\mathrm{BC}=2x=\sqrt{21}$ です。

どちらの場合も、$(1)$, $(2)$, $(3)$ を満たす $x,y,h$ から二等辺三角形が実際に作れ、外接円・内接円の半径は与えられた値になります。

したがって、$\mathrm{BC}$ の長さとしてありうる値は $6$ と $\sqrt{21}$ です。

底辺 $BC=a$、等辺 $AB=AC=b$、底角を $\beta$ とおく。頂角は $A=\pi -2\beta$ である。外接円の半径を $R=\frac{25}{8}$、内接円の半径を $r=\frac{3}{2}$ とする。

公式 $r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$ を使う。ここで $\sin \frac{A}{2}=\cos \beta$、$B=C=\beta$ である。よって
$\frac{r}{R}=4\cos \beta {\sin }^2\frac{\beta }{2}=2\cos \beta (1-\cos \beta )$。

$\frac{r}{R}=\frac{12}{25}$ なので、$c=\cos \beta$ とおくと $c-c^2=\frac{6}{25}$、すなわち $c^2-c+\frac{6}{25}=0$。これを解くと $c=\frac{3}{5},\frac{2}{5}$。どちらも $0<c<1$ を満たし、底角として可能である。

正弦定理より $a=2R\sin A=2R\sin 2\beta$。

• $c=\frac{3}{5}$ のとき、$\sin \beta =\frac{4}{5}$、$\sin 2\beta =\frac{24}{25}$ なので $a=\frac{25}{4}\cdot \frac{24}{25}=6$。このとき $b=2R\sin \beta =5$。
• $c=\frac{2}{5}$ のとき、$\sin \beta =\frac{\sqrt{21}}{5}$、$\sin 2\beta =\frac{4\sqrt{21}}{25}$ なので $a=\sqrt{21}$。このとき $b=\frac{5\sqrt{21}}{4}$。

検算：
- 三角形 $5,5,6$：高さ $4$、面積 $K=12$、$s=8$ より $r=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。$R=\frac{5\cdot 5\cdot 6}{4\cdot 12}=\frac{25}{8}$。成立する。
- 三角形 $\sqrt{21},\frac{5\sqrt{21}}{4},\frac{5\sqrt{21}}{4}$：高さ $\frac{21}{4}$、$K=\frac{21\sqrt{21}}{8}$、$s=\frac{7\sqrt{21}}{4}$ より $r=\frac{3}{2}$。$R=\frac{\sqrt{21}\cdot \frac{525}{16}}{4K}=\frac{25}{8}$。成立する。

よって $BC=6,\sqrt{21}$。