図形と計量の問題

$\mathrm{AB}=c$ $(c>0)$ とおく。$\angle \mathrm{A}$ に対して余弦定理を用いると
$${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{CA}}^2+{\mathrm{AB}}^2-2\cdot \mathrm{CA}\cdot \mathrm{AB}\cos 60^{\circ }$$
であるから
$$21=25+c^2-2\cdot 5\cdot c\cdot \frac{1}{2}$$
$$c^2-5c+4=0$$
$$(c-1)(c-4)=0$$
よって $c=1,4$。どちらも正である。

また、$\mathrm{CA}=5$, $\mathrm{AB}=c$, $\angle \mathrm{A}=60^{\circ }$ の三角形は $c>0$ ならば必ず存在し、そのとき ${\mathrm{BC}}^2=c^2-5c+25$ である。$c=1$ のとき ${\mathrm{BC}}^2=21$、$c=4$ のとき ${\mathrm{BC}}^2=21$ となり、どちらも条件を満たす。

したがって、$\mathrm{AB}$ の長さとして考えられる値は $1,4$ である。

$\mathrm{AB}=c$ とおく。余弦定理より ${\mathrm{BC}}^2=c^2+{\mathrm{CA}}^2-2\cdot c\cdot \mathrm{CA}\cos 60^{\circ }$ なので $21=c^2+25-5c$、すなわち $c^2-5c+4=0$、$(c-1)(c-4)=0$ より $c=1,4$。どちらも三角形が成立するか確認する。$c=1$: 辺は $1,5,\sqrt{21}\approx 4.58$ で、$1+4.58>5$ より成立。$c=4$: 辺は $4,5,\sqrt{21}$ で成立。検算: $c=1$ のとき $1+25-5=21$、$c=4$ のとき $16+25-20=21$ で一致。よって $1,4$。