2 物体の出会いとすれ違い

時刻をずらして運動を始める 2 物体の位置を共通の時刻 $t$ の式で表し、位置が等しくなる条件から、出会う（すれ違う）時刻と位置を求められる

前提

自由落下と鉛直投げ上げ（高校物理運動の表し方）

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算数中学高校大学大学院

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自由落下と鉛直投げ上げ（高校物理運動の表し方）

説明

2 つの物体が時刻をずらして動き始めるとき、両者がいつ、どこで出会う（すれ違う）かを求める技能です。たとえば「小球 A を投げ上げた 2 秒後に、同じ場所から小球 B を投げ上げた。2 球はどこで出会うか」のような問題で使います。それぞれの位置を共通の時刻 $t$ の式で書き、「同じ時刻に同じ位置にいる」という条件を方程式にして解きます。

なぜそうしてよいのか

「出会う」とは、2 つの物体が同じ時刻に同じ位置にいることです。そこで、ひとつの時計（共通の時刻 $t$ ）とひとつの座標軸を決め、両方の物体の位置をその $t$ の式で表します。位置が等しいという式 $y_{A} = y_{B}$ を $t$ について解けば、出会う時刻がわかります。

注意が要るのは、遅れて動き出す物体です。最初の物体が動き出した時刻を $t = 0$ とし、もう一方が時刻 $T$ に動き出すとします。後の物体が動いてきた時間は $t$ ではなく $t - T$ です。等加速度直線運動の式 $y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ の「経過時間」の部分を $t - T$ に置き換えれば、後の物体の位置は $y = y_{0} + v_{0} (t - T) - \frac{1}{2} g (t - T)^{2}$ と書けます。ただし、この式が使えるのは動き出した後の $t ≧ T$ だけです。

両方とも重力だけを受けて運動するとき、加速度はどちらも同じ $- g$ です。そのため $y_{A} = y_{B}$ を整理すると $t^{2}$ の項が打ち消し合い、多くの場合 $t$ の 1 次方程式になります。これは、一方から見るともう一方が等速で近づいてくることに対応しています。

手順

座標軸の向きと原点を決め、最初に動き出す物体の出発の瞬間を時刻 $t = 0$ とする（例: 地面を原点、鉛直上向きを正）
先に動く物体の位置を $t$ で表す: $y_{A} = y_{A 0} + v_{A 0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$
時刻 $T$ に動き出す物体の位置は、経過時間 $t - T$ を使って表す: $y_{B} = y_{B 0} + v_{B 0} (t - T) - \frac{1}{2} g (t - T)^{2}$ （ $t ≧ T$ ）
出会う条件 $y_{A} = y_{B}$ を $t$ について解く
解が条件（ $t ≧ T$ 、どちらもまだ地面に達していないなど）を満たすか確かめ、その $t$ をどちらかの位置の式に代入して出会う位置を求める

例題

地面から小球 A を鉛直上向きに初速 $19.6 m/s$ で投げ上げた。その $2.0 s$ 後に、同じ地点から小球 B を鉛直上向きに初速 $19.6 m/s$ で投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視する。2 球が空中で出会うのは A を投げてから何 s 後か、またそれは地面から何 m の高さか。有効数字 2 桁で、時刻、高さの順に答えよ。

例題の解答

手順 1: 地面を原点、鉛直上向きを正とし、A を投げた瞬間を $t = 0$ とする。

手順 2: A の高さは $y_{A} = 19.6 t - 4.9 t^{2}$ 。

手順 3: B は $t = 2.0$ に投げたので、経過時間は $t - 2.0$ 。B の高さは $y_{B} = 19.6 (t - 2.0) - 4.9 (t - 2.0)^{2}$ （ $t ≧ 2.0$ ）。

手順 4: $y_{A} = y_{B}$ とおく。
$19.6 t - 4.9 t^{2} = 19.6 t - 39.2 - 4.9 (t^{2} - 4.0 t + 4.0)$
右辺を展開すると $19.6 t - 39.2 - 4.9 t^{2} + 19.6 t - 19.6$ となり、両辺の $19.6 t - 4.9 t^{2}$ が消えて
$0 = 19.6 t - 58.8$
よって $t = 3.0 s$ 。

手順 5: $t = 3.0 ≧ 2.0$ なので B はすでに投げられている。A が地面に戻るのは $19.6 t - 4.9 t^{2} = 0$ より $t = 4.0 s$ なので、それより前であり空中で出会う。高さは
$y_{A} = 19.6 \times 3.0 - 4.9 \times 3. 0^{2} = 58.8 - 44.1 = 14.7 m$
（確認: $y_{B} = 19.6 \times 1.0 - 4.9 \times 1. 0^{2} = 14.7 m$ で一致する。）
有効数字 2 桁で、 $3.0 s$ 後、高さ $15 m$ 。このとき A は最高点（ $t = 2.0 s$ ）を過ぎて落ちてくる途中で、上昇中の B とすれ違う。

答え: $(3.0, 15)$

よくある誤り

後から投げた B の高さも $y_{B} = 19.6 t - 4.9 t^{2}$ と、A と同じ $t$ で書いてしまう誤り。これでは A と B が常に同じ位置にいることになる。正しくは、B の経過時間を使って $y_{B} = 19.6 (t - 2.0) - 4.9 (t - 2.0)^{2}$ と書く。
$(t - T)$ を含む式を展開するときに項を落とす誤り。たとえば $v_{0} (t - T)$ を $v_{0} t$ としたり、 $(t - T)^{2}$ を $t^{2} - T^{2}$ としてしまう。正しくは $v_{0} (t - T) = v_{0} t - v_{0} T$ 、 $(t - T)^{2} = t^{2} - 2 T t + T^{2}$ 。
求めた $t$ の条件を確かめない誤り。 $t < T$ の解は、B がまだ動いていないので不適。また、物体が地面に達する時刻より後の解も不適である。たとえば高さ $h$ から自由落下させた物体なら、 $t ≦ \frac{2 h}{g}$ のときしか $y = h - \frac{1}{2} g t^{2}$ は使えない。
上から投げ下ろす物体と下から投げ上げる物体で、向きの符号をそろえない誤り。上向きを正と決めたら、高さ $h$ から速さ $v_{1}$ で投げ下ろす物体は $y = h - v_{1} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ と、初速度も加速度も負にする。投げ上げる物体だけに $- \frac{1}{2} g t^{2}$ を付け、投げ下ろす物体に $+ \frac{1}{2} g t^{2}$ を付けるのは誤り。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

2 物体の出会いとすれ違い

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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