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運動の表し方の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校物理運動の表し方

水平な地面から高さ $19.6 m$ のビルの屋上の端から、小球を鉛直上向きに初速度の大きさ $14.7 m/s$ で投げ上げた。小球は最高点に達した後に落下し、ビルにぶつかることなく地面に達した。小球が地面に達する直前の速さは何 m/s か。有効数字 3 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $9.80 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗と小球の大きさは無視する。

14.7 m/s

19.6 m

この問題で使うもの

自由落下と鉛直投げ上げ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

投げ上げてから地面に達するまで、小球は一定の加速度で運動する。最高点で分けずに、まとめて 1 つの等加速度直線運動として扱える。

ヒント 2

鉛直上向きを正とし、投げ上げた位置を原点にすると、地面は $y = - 19.6 m$ 。時間を含まない式 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a y$ を使おう。

ヒント 3

$v^{2} = 14. 7^{2} + 2 \times 9.80 \times 19.6$ を計算する。

答えと解説

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24.5

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解説を読む

空気抵抗を無視するので、小球は重力だけを受け、投げ上げてから地面に達するまで、加速度が一定（鉛直下向きに大きさ $9.80 m/ s^{2}$ ）の等加速度直線運動をする。

鉛直上向きを正とし、投げ上げた位置を原点とする。地面の位置は $y = - 19.6 m$ である。等加速度直線運動の式 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a y$ に、 $v_{0} = 14.7 m/s$ 、 $a = - 9.80 m/ s^{2}$ 、 $y = - 19.6 m$ を代入すると
$v^{2} - 14. 7^{2} = 2 \times (- 9.80) \times (- 19.6)$
$v^{2} = 216.09 + 384.16 = 600.25$
$v = \pm 24.5 m/s$
地面に達する直前は下向きに運動しているので $v = - 24.5 m/s$ で、速さは $24.5 m/s$ である。

（確かめ）地面に達する時刻 $t$ は $- 19.6 = 14.7 t - 4.90 t^{2}$ より $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ 、 $(t - 4) (t + 1) = 0$ で $t = 4.00 s$ 。このとき $v = 14.7 - 9.80 \times 4.00 = - 24.5 m/s$ で一致する。

答えは $24.5 m/s$ である。

別解

空気抵抗を無視すると、力学的エネルギーが保存される。ビルの屋上の端を高さの基準にとると、投げ上げた位置では速さ $v_{0} = 14.7$ m/s、地面に達する直前では高さが $- 19.6$ m で、速さを $v$ とする。\n\n $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g h$ （ $h = 19.6$ m は落下した高さ）\nより $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g h = 14. 7^{2} + 2 \times 9.80 \times 19.6 = 216.09 + 384.16 = 600.25$ \n $v = 600.25 = 24.5$ (m/s)。\n\n確かめ: 等加速度運動の式で、鉛直下向きを正とすると初速度は $- 14.7$ m/s、変位は $+ 19.6$ m。 $v^{2} - (- 14.7)^{2} = 2 \times 9.80 \times 19.6$ から同じ式になる。また $24.5 = 600.25$ は $24. 5^{2} = 600.25$ より正確に一致する。有効数字 3 桁で $24.5$ m/s。

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