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運動の表し方の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校物理運動の表し方

水平な地面上の点 O から、小球を水平方向と $3 0^{\circ}$ の角をなす斜め上向きに、初速度の大きさ $19.6 m/s$ で投げ出した。小球は放物線を描いて、再び地面上の点 P に落下した。OP 間の距離は何 m か。有効数字 3 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $9.80 m/ s^{2}$ 、 $3 = 1.732$ とし、空気抵抗と小球の大きさは無視する。

O

P

19.6 m/s

3 0^{\circ}

この問題で使うもの

斜方投射（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

初速度を水平成分と鉛直成分に分け、水平方向は等速直線運動、鉛直方向は鉛直投げ上げとして考えよう。

ヒント 2

鉛直方向の初速度は $19.6 sin 3 0^{\circ}$ 、水平方向の速さは $19.6 cos 3 0^{\circ}$ 。高さが再び $0$ になる時刻を求める。

ヒント 3

$9.80 t - 4.90 t^{2} = 0$ より、地面に落ちるのは $t = 2.00 s$ 。この時間に水平方向に進む距離を計算する。

答えと解説

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33.9

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解説を読む

空気抵抗を無視するので、小球には鉛直下向きの重力だけがはたらく。よって、水平方向には等速直線運動、鉛直方向には加速度 $- 9.80 m/ s^{2}$ （鉛直上向きを正とする）の等加速度直線運動をする。

初速度を水平成分と鉛直成分に分けると
$v_{0 x} = 19.6 cos 3 0^{\circ} = 19.6 \times \frac{3}{2} = 9.80 3 m/s$
$v_{0 y} = 19.6 sin 3 0^{\circ} = 19.6 \times \frac{1}{2} = 9.80 m/s$

鉛直方向について、投げてから時間 $t$ 後の高さは
$y = 9.80 t - \frac{1}{2} \times 9.80 \times t^{2} = 9.80 t - 4.90 t^{2}$
地面に落ちるとき $y = 0$ なので、 $t > 0$ より
$9.80 t - 4.90 t^{2} = 0 t = \frac{9.80}{4.90} = 2.00 s$

この間の水平方向の移動距離が OP なので
$OP = v_{0 x} \times 2.00 = 9.80 3 \times 2.00 = 19.6 3 = 19.6 \times 1.732 = 33.947 \dots ≒ 33.9 m$

答えは $33.9 m$ である。

別解

初速度の水平成分 $v_{x} = v_{0} cos 3 0^{\circ}$ 、鉛直成分 $v_{y} = v_{0} sin 3 0^{\circ} = 19.6 \times \frac{1}{2} = 9.80 m/s$ 。
地面に落下するまでの時間 $t$ は、鉛直方向の変位が 0 になる条件 $v_{y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0$ より $t = \frac{2 v _{y}}{g} = \frac{2 \times 9.80}{9.80} = 2.00 s$ 。
水平成分 $v_{x} = 19.6 \times \frac{3}{2} = 9.8 \times 1.732 = 16.9736 m/s$ 。
OP $= v_{x} t = 16.9736 \times 2.00 = 33.9472 m \approx 33.9 m$ 。
検算: 射程の公式 $\frac{v _{0}^{2} s i n 6 0 ^{\circ}}{g} = \frac{19. 6 ^{2} \times 0.866}{9.80} = 39.2 \times 0.866 = 33.9472$ で一致する。

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