運動の表し方の問題

斜方投射では、初速度を水平成分と鉛直成分に分け、水平方向は等速直線運動、鉛直方向は加速度 $-g$（上向きを正）の等加速度直線運動として別々に考える。空気抵抗を無視するので、小球にはたらく力は鉛直下向きの重力だけであり、水平方向には力がはたらかないからである。

1. 初速度を分解する

$v_0=14m/s$, $\theta =45^{\circ }$ より
$$v_x=v_0\cos 45^{\circ }=14\times \frac{\sqrt{2}}{2}=7\sqrt{2}m/s$$
$$v_y=v_0\sin 45^{\circ }=14\times \frac{\sqrt{2}}{2}=7\sqrt{2}m/s$$

2. 地面に落ちるまでの時間を求める

投げてから $t$ 秒後の高さ $y$ は、鉛直上向きを正として
$$y=v_{y}t-\frac{1}{2}g{t}^2$$
地面に落ちるとき $y=0$ なので、$t\left(v_y-\frac{1}{2}gt\right)=0$ より、$t\ne 0$ の解は
$$t=\frac{2v_y}{g}=\frac{2\times 7\sqrt{2}}{9.8}=\frac{10\sqrt{2}}{7}\mathrm{s}$$

3. 水平に進む距離を求める

水平方向は速さ $v_x$ の等速直線運動なので
$$x=v_{x}t=7\sqrt{2}\times \frac{10\sqrt{2}}{7}=20\mathrm{m}$$

（確認）公式 $x=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$ を使うと、$\frac{14^2\times \sin 90^{\circ }}{9.8}=\frac{196}{9.8}=20\mathrm{m}$ となり一致する。

よって、答えは $20\mathrm{m}$ である。

水平到達距離は $R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$ で求められる。
導出：初速度の水平成分は $v_0\cos 45^{\circ }=7\sqrt{2}$ m/s、鉛直成分は $v_0\sin 45^{\circ }=7\sqrt{2}$ m/s。
滞空時間は鉛直方向の運動 $0=7\sqrt{2}t-\frac{1}{2}g{t}^2$ より $t=\frac{2\cdot 7\sqrt{2}}{9.8}=\frac{14\sqrt{2}}{9.8}=\frac{10\sqrt{2}}{7}$ s（約 2.02 s）。
水平距離は $x=7\sqrt{2}\cdot \frac{10\sqrt{2}}{7}=20$ m。
検算：$R=14^2\times \sin 90^{\circ }/9.8=196/9.8=20$ m。
有効数字 2 桁で $2.0\times 10^1$ m。